연희지구 중등수학과외

자료의 순서쌍 (1,5),(2,4),(3,4),(4,2),(5,1)을 화면에 띄우고, 학생이 적은 “점들이 직선 하나 위에 없으므로 상관이 없다.”라는 답안을 바로 옆에 놓았다. 연희지구중등수학과외 수업에서 교사는 정답을 곧바로 말하지 않고 “이 답은 주어진 점들의 배치를 제대로 설명하고 있을까?”라고 물었다. 학생은 모든 점이 하나의 반듯한 직선 위에 놓이지 않았다는 사실을 근거로 들었다. 교사는 이 설명에서 맞게 관찰한 부분과 판단이 달라진 지점을 나누어 보기로 했다.

직선 위의 점과 전체적인 방향을 구분하기

학생은 점들이 완전히 일치하지 않는다는 점은 정확히 확인했다. 그러나 산점도에서 상관관계를 판단할 때는 모든 점이 한 직선 위에 있는지를 먼저 묻지 않는다. 교사는 순서쌍을 왼쪽에서 오른쪽으로 읽으며 “x가 커질수록 y가 대체로 어느 쪽으로 놓이나?”라고 짧게 질문했다. 학생이 오른쪽 아래 방향을 바로 고르지 못하면, 교사는 (1,5)와 (5,1)을 표시하고 두 점 사이의 위치 변화만 한 단계 보여 준다. 이후 중간의 (2,4),(3,4),(4,2)는 학생이 직접 살펴보게 하여, 한 구간의 y값이 같더라도 전체 방향을 판단할 수 있는지 확인한다.

(1,5)에서 (5,1)까지 내려가는 자료의 경향

교사의 질문 뒤 학생은 완전한 함수식과 자료의 경향을 구분하여 다시 적기 시작했다. 이 자료의 점들은 하나의 정확한 직선 식으로 모두 표현되어야 하는 것이 아니라, x가 증가할 때 y가 대체로 감소하는지를 보여 준다. 학생은 “x가 커질수록 y가 대체로 작아지므로 음의 상관관계다.”라고 수정했다. 이어서 상관관계의 방향과 원인 판단을 분리하도록 하자, “이 자료만으로 x가 y 변화의 원인이라고 단정할 수 없다.”라고 덧붙였다. 처음 풀이에서는 ‘직선 하나 위에 있지 않다’는 조건을 상관관계가 없다는 결론으로 곧바로 연결했지만, 수정 풀이에서는 전체적인 감소 경향과 인과관계의 제한을 따로 기록했다.

낮은 x와 높은 x를 비교하는 검산

검산은 같은 문장을 다시 쓰는 방식으로 진행하지 않았다. 낮은 x에 해당하는 y값은 5와 4이고, 높은 x에 해당하는 y값은 2와 1이다. 낮은 x 쪽의 y가 상대적으로 크고 높은 x 쪽의 y가 작으므로, 자료가 오른쪽 아래로 향한다는 판단과 일치한다. 가운데 값에서 y가 한 번 같다고 해서 전체 상관이 사라지는 것도 아니다. 반대로 점들이 모두 한 직선 위에 있거나 x가 증가할 때마다 y가 매번 감소해야만 음의 상관이 되는 것도 아니다. 다만 이 배치만으로 x가 y를 변화시켰다고 말할 근거는 없으므로, 상관관계와 인과관계를 구분한 결론까지 함께 남겨야 한다.

감소에서 증가로 바뀐 새 조건에 적용하기

새 문제로 자료 (1,2),(2,4),(3,4),(4,7),(5,8)을 제시했다. 대표 자료와 달라진 조건은 전체 경향이 아래쪽 감소가 아니라 위쪽 증가로 바뀌었다는 점이다. 또한 (2,4)와 (3,4)처럼 한 구간에서 y가 같을 수 있다는 점, 자료만으로 인과관계를 확정할 수 없다는 점은 그대로 유지된다. 학생은 낮은 x에서 y가 2와 4이고 높은 x에서 y가 7과 8임을 비교한 뒤, “x가 커질수록 y가 대체로 커져 양의 상관관계다. 이 자료만으로 인과관계를 확정하지 않는다.”라고 적어야 한다. 다음 수업에서는 같은 대표 문제의 조건만 다시 제시하고 오답과 수정 답을 가린 뒤, 학생이 먼저 ‘모든 점이 직선 위인가’가 아니라 ‘전체 경향이 어느 방향인가’를 말하는지 확인한다. 이어 새 자료에서도 낮은 x와 높은 x의 y를 비교하고 상관관계와 인과관계를 나누어 쓰는지, 교사는 학생이 남긴 표시와 설명을 근거로 살핀다.