원당동 고등수학과외

답을 가린 뒤, 단위원의 오른쪽 아래를 다시 묻다

기본 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 다음과 같이 다시 시작한다. “0≤x<2π에서 cos x>0의 해를 구하라.” 처음 풀이가 0<x<π/2만 남겼다면, 배움노트 고등수학 수업에서는 곧바로 맞고 틀림을 확정하지 않고 “단위원 오른쪽 아래 부분도 x좌표가 양수인가?”라고 묻는다. 학생은 단위원에서 코사인이 x좌표라는 사실을 말하고, 오른쪽 아래 부분의 점을 직접 표시해 본다. 이때 각은 별도 표시가 없으므로 라디안으로 읽으며, 정의역의 시작과 끝이 어디에 포함되는지도 함께 표시한다.

0<x<π/2는 제1사분면만 나타낸다. 그러나 오른쪽 반원은 제1사분면과 제4사분면으로 나뉘고, 두 구간에서 x좌표가 양수이다. 따라서 그래프를 사용할 때에도 cos x의 값이 0보다 큰 부분과 수평선 y=0 위쪽 부분을 0≤x<2π 안에서 모두 찾아야 한다. 한 해를 기억해 적는 방식과 주기와 구간을 적용해 해 전체를 찾는 방식은 다르므로, 학생이 직접 단위원의 두 영역과 그래프의 두 구간을 서로 대조하게 한다.

끝점의 값과 부등호를 따로 확인하는 풀이

학생이 다시 시도해 [0,π/2)∪(3π/2,2π)라고 썼다면, 각 구간이 왜 그렇게 정해졌는지 설명하게 한다. x=0에서는 cos 0=1이므로 조건 cos x>0을 만족해 포함된다. 반면 x=π/2와 x=3π/2에서는 코사인 값이 0이므로 엄격한 부등식에 들어가지 않는다. 2π에서도 값은 1이지만, 애초에 정의역이 x<2π이므로 끝점으로 넣을 수 없다. 따라서 정답은 [0,π/2)∪(3π/2,2π)이다.

이 과정에서 교사는 “오른쪽 아래도 양수”라는 말만 받아 적게 하지 않고, 학생이 단위원에 해당 영역을 표시하고 원래 조건과 대조하게 한다. 그래프에서는 cos x가 y=0보다 위에 있는 부분을 찾고, 단위원에서는 x좌표가 양수인 부분을 찾는다. 두 표현이 같은 구간을 가리키는지 확인하면, 단순 암기가 아니라 부호의 근거를 복원할 수 있다. 특히 π/2와 3π/2를 경계로 삼되 등호가 허용되지 않는다는 점을 문제의 부등호와 연결해야 한다.

조건이 바뀐 문제에 같은 방법을 다시 적용하다

이제 앞의 설명과 풀이를 보지 않은 채, 0≤x≤2π에서 sin x≥0의 해를 구한다. 이번에는 함수와 부등호, 정의역의 끝점이 모두 달라졌으므로 이전 답을 모양만 바꾸어 쓰지 않는다. 단위원의 y좌표가 양수인 위쪽 반원에서는 0<x<π이고, x=0, π, 2π에서는 사인 값이 0이다. 따라서 양수인 부분과 0이 되는 지점을 따로 표시한 뒤 [0,π]∪{2π}로 정리한다.

(π,2π)에서는 sin x가 음수이므로 포함되지 않지만, 2π에서는 다시 0이 되어 sin x≥0을 만족한다. 이번 문제는 양의 구간만 찾는 것이 아니라 등호가 허용된 끝점을 판단해야 하므로, [0,π]와 고립된 끝점 2π를 구별해 적어야 한다. 마지막으로 학생은 단위원의 y좌표 부호, 그래프의 위아래 위치, 각 끝점에서의 실제 함수값을 차례로 대조한다. 기본각만 기억해 두었다면 한 주기 안에 두 번째 교점과 끝점을 반드시 표시하는 습관으로 다음 삼각함수 부등식도 점검할 수 있다.