평리동 중등수학과외

수업은 조건이 조금 달라진 문제에서 시작한다. 학생에게 “(3x+2)(3x−1)을 전개하라.”고 제시하자 학생은 두 식을 곧바로 곱하기보다 9x²와 상수항 −2를 먼저 적고, 가운데 항을 어떻게 처리할지 잠시 멈춘다. 이 문제에서는 두 상수의 절댓값이 같지 않으므로 합과 차의 곱 공식으로 가운데 항을 지울 수 없다. 평리동중등수학과외 수업에서는 바로 이 차이를 말로 설명한 뒤 식에 남기는지를 중요하게 본다.

절댓값이 다른 두 상수에서 남는 교차 항

교사는 학생이 처음 선택한 계산을 바로 고쳐 주지 않고, 비교할 대표 문제를 함께 제시한다. “(3x+2)(3x−2)에서 두 교차 항의 부호가 같은가?”라고 묻자 학생은 첫 번째 교차 항은 −6x, 두 번째 교차 항은 +6x라고 답한다. 교사는 답변만 듣고 원인을 단정하지 않는다. 말로는 부호를 알고 있지만 실제 전개 과정에서 한 항을 빠뜨렸을 수도 있기 때문이다.

그래서 학생이 처음 적었던 (3x+2)(3x−2)=9x²+12x−4를 다시 보게 한다. 3x와 3x를 곱한 9x², 2와 −2를 곱한 −4는 맞게 처리했지만, 3x×(−2)와 2×3x를 각각 적는 단계에서 판단이 달라졌다. 교사는 “교차 항 두 개의 부호가 같은가?”라고 다시 짧게 묻고, 학생이 계산 줄과 답변을 함께 남기게 한다.

−6x와 +6x를 실제 곱으로 확인하기

교사의 도움은 한 단계로 제한한다. 곱셈을 네 항으로 펼치면 9x²−6x+6x−4가 된다는 출발점만 보여 주고, “−6x와 +6x는 더하면 0이다.”라고 설명한다. 이후 어느 항이 사라지는지, 왜 사라지는지는 학생이 직접 표시하게 한다. 학생은 −6x와 +6x에 같은 표시를 한 뒤, 두 항의 합을 0으로 적고 다음과 같이 수정한다.

(3x+2)(3x−2)=9x²−6x+6x−4=9x²−4

처음 풀이에는 실제로 생기지 않는 12x가 들어갔지만, 수정 풀이에서는 두 교차 항을 각각 계산한 뒤 상쇄 여부를 확인했다는 차이가 있다. 교사는 학생에게 같은 계산을 한 번 더 쓰게 하는 대신, x=1을 대입해 원래 곱과 정리된 식을 비교하게 한다. 왼쪽은 (3×1+2)(3×1−2)=5×1=5이고, 오른쪽은 9−4=5이다. 또한 가운데 두 항이 −6x와 +6x라는 반대수이므로 합이 0이라는 점도 함께 확인한다.

대표 문제와 다른 조건으로 다시 전개하기

이제 처음에 제시했던 (3x+2)(3x−1)로 돌아온다. 학생은 앞의 대표 문제에서 두 상수의 절댓값이 같았기 때문에 가운데 항이 사라졌다는 점을 말하고, 이번 식에서는 그 조건이 달라졌다고 표시한다. 3x×(−1)=−3x, 2×3x=6x이므로 네 항을 빠짐없이 적으면 다음과 같다.

(3x+2)(3x−1)=9x²−3x+6x−2=9x²+3x−2

이번에는 교차 항의 합이 −3x+6x=3x로 남는다. x=0을 대입하면 원래 곱은 2×(−1)=−2이고, 정리한 식도 −2이므로 상수항과 결과가 일치한다. 대표 문제의 −6x와 +6x처럼 반대수가 되는 경우에는 가운데 항을 지울 수 있지만, 새 문제에서는 −3x와 +6x가 서로 없어지지 않는다는 조건 대조가 검산의 근거가 된다.

다음에는 기존 오답과 수정 풀이를 가린 채 (4x+3)(4x−3)을 제시한다. 학생은 두 교차 항을 먼저 따로 적고, 그 부호와 계수를 비교한 뒤 상쇄되는 이유를 도움 없이 말해야 한다. 교사는 정답만 확인하지 않고, 4x×(−3)과 3×4x를 각각 표시했는지, 두 항의 합이 0임을 실제 식으로 설명했는지를 근거로 판단한다.