평리동 고등수학과외

내적이 0이라는 계산만으로 사이각을 정할 수 있을까

2022 개정 진로 선택 기하에서 벡터의 내적과 각을 다룰 때는 계산 결과뿐 아니라 정의가 성립하는 조건까지 표시해야 한다. 예를 들어 a=(0,0), b=(1,2)일 때 내적과 사이각의 정의 여부를 묻는 문제를 보자. 풀이를 서둘러 “내적이 0이므로 사이각은 π/2이다”라고 답했다면, 먼저 어느 계산에서 내적이 0이 되었는지와 각을 구하는 공식의 조건을 나누어 확인해야 한다.

내적은 성분별 곱의 합인 실수이므로 a·b=0·1+0·2=0이다. 여기까지의 계산은 맞다. 그러나 두 벡터의 사이각 θ를 정할 때 사용하는 a·b=|a||b|cosθ 또는 cosθ=(a·b)/(|a||b|)에는 두 벡터가 모두 영벡터가 아니라는 조건이 필요하다. 실제로 |a|=0이므로 분모 |a||b|는 0이 되고, 이 식으로 cosθ를 계산할 수 없다. 영벡터는 방향을 정하지 않으므로 b와 이루는 사이각 역시 정의되지 않는다.

오답의 원인을 확인 질문으로 나누어 보기

이런 오답 하나만으로 학생이 내적의 뜻을 몰랐다고 단정할 수는 없다. 내적을 성분별로 곱한 벡터라고 생각했는지, 아니면 내적 계산은 했지만 각 공식에서 크기로 나누는 조건을 빠뜨렸는지 구분해야 한다. 짧은 확인 질문은 “각 공식에서 |a||b|가 0이면 나눌 수 있는가?”이다. 학생은 먼저 |a|와 |b|를 직접 계산해 종이에 표시하고, 내적의 값과 분모의 값을 따로 대조해야 한다. 분모가 0이라면 cosθ의 값을 만들 수 없다는 근거를 문장으로 설명한다.

이때 내적이 0이라는 사실의 의미도 범위를 구분해 써야 한다. 두 벡터가 모두 영벡터가 아니라면 내적 0은 서로 수직이라는 판정으로 이어질 수 있지만, 영벡터가 포함되면 그 판정을 사이각 π/2라는 결론으로 확장할 수 없다. 따라서 수정 풀이에는 “내적은 0이지만, a가 영벡터이므로 사이각은 정의되지 않는다”라고 적는다. 중간 계산은 교사가 함께 확인하되, 조건을 반영한 최종 판단은 학생이 직접 문장으로 완성하게 한다.

조건을 남긴 채 다시 계산하고 다음 문제에 적용하기

수정된 풀이에서 학생은 a·b=0, |a|=0을 확인한 뒤 “사이각은 정의되지 않는다”라고 답한다. 정답은 내적 0, 사이각 정의 불가이다. 검산의 핵심은 ‘영벡터가 아닌 두 벡터’라는 수직 판정 조건이 빠져 있었음을 찾아내는 것이다.

다음에는 문제의 조건과 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 시작한다. 내적이 0인 의미를 확인하되, 영벡터가 포함된 경우와 두 벡터가 모두 영벡터가 아닌 경우를 구별한다. 예를 들어 a=(1,t), b=(2,−1)이 수직일 때는 두 벡터가 영벡터가 아님을 확인하고 a·b=2−t=0을 세워 t=2를 얻는다. 실제 벡터 (1,2),(2,−1)의 내적도 0이므로 수직 조건이 성립한다. 마지막으로 처음 문제의 식과 조건만 다시 보고, “각 공식에서 |a||b|가 0이면 나눌 수 있는가?”에 답할 근거를 고른 뒤 수정 풀이를 재작성한다. 부호만 보고 각을 확정하지 않고 두 벡터의 크기와 내적을 각각 계산하는 습관까지 이어가면 정의와 계산을 함께 점검할 수 있다.