비산동 중등수학과외

“삼각비의 수치와 변 길이의 단위를 구별하면 식이 어떻게 달라질까?” 교사는 중3 삼각비 문제를 시작하기 전에 이렇게 물었다. 학생은 답을 바로 말하기보다 종이에 적힌 6cm ÷ 10cm을 바라보았다. 교사는 “6cm를 10cm로 나누면 단위가 남을까?”라고 짧게 확인했다. 학생이 “cm가 하나 남는 것 같다”고 답하자, 교사는 아직 풀이 전체를 고치지 않고 그 설명과 첫 계산을 나란히 놓아 보기로 했다.

6cm와 10cm의 비에서 단위가 사라지는 이유

학생이 처음 적은 식은 sin A=3/5cm였다. 6을 10으로 나누어 3/5를 만든 계산 자체는 맞았지만, 삼각비의 결과에 길이 단위를 붙인 점에서 판단이 달라졌다. 이 한 줄만 보고 개념 전체를 모른다고 단정하지 않기 위해 교사는 “분자와 분모의 단위가 무엇인지 말해 볼래?”라고 다시 물었다. 학생은 두 값 모두 cm라고 확인했지만, 비를 계산한 뒤에도 단위가 남는다고 생각했다.

교사는 종이에 6cm/10cm=(6/10)×(cm/cm)=3/5를 한 단계만 시범으로 적었다. “같은 길이 단위끼리의 비는 단위가 없어진다”는 설명 뒤에는 학생이 직접 수치와 변의 단위를 구별하도록 멈추었다. 따라서 sin A=3/5는 단위가 없는 삼각비의 수치이고, 6cm와 10cm는 변의 길이를 나타내는 정보라는 점을 학생의 말과 식으로 확인했다.

기준각 A에서 세 변의 역할을 다시 표시하기

학생은 그림에서 기준각 A를 동그라미로 표시하고, 그 기준으로 세 변의 역할을 다시 적었다. A의 맞은편 변은 BC=6cm, A에 붙어 있는 직각변은 AC=8cm, 직각의 맞은편인 빗변은 AB=10cm이다. 길이 자체에는 cm가 붙지만, 삼각비를 계산한 뒤의 비에는 단위를 쓰지 않는다는 약속도 옆에 적었다.

이제 학생은 sin A=BC/AB=6/10=3/5, cos A=AC/AB=8/10=4/5, tan A=BC/AC=6/8=3/4를 직접 완성했다. 처음 풀이와 달라진 부분은 6과 10을 잘못 계산한 것이 아니라, 계산 결과인 3/5 뒤에 cm를 붙였던 점이었다. 교사는 세 식을 대신 써 주지 않고, 학생이 각 분자와 분모가 어느 변에서 왔는지 말한 뒤 적게 했다.

검산은 같은 나눗셈을 반복하지 않는 방식으로 진행했다. 먼저 두 삼각비의 관계를 이용해 (3/5)²+(4/5)²=9/25+16/25=1인지 확인했다. 이어 (sin A)/(cos A)=(3/5)/(4/5)=3/4가 되어 tan A와 일치하는지도 살폈다. 학생은 “사인과 코사인은 빗변을 기준으로 하고, 탄젠트는 두 직각변의 비라서 3/4가 된다”고 설명했다.

기준각을 B로 바꾸었을 때 분자와 분모 다시 정하기

비산동중등수학과외 수업의 적용 문제에서는 변의 길이는 그대로 두고 기준각만 A에서 B로 바꾸었다. 조건은 여전히 ∠C=90°, AB=10cm, AC=8cm, BC=6cm인 삼각형이다. 이번에는 학생이 먼저 B의 맞은편과 이웃 직각변을 표시한 뒤 식을 작성하도록 했다. B의 맞은편은 AC=8cm, 이웃 직각변은 BC=6cm이며, 빗변은 기준각이 바뀌어도 AB=10cm로 그대로다.

학생은 단위를 비에 남기지 않고 sin B=AC/AB=8/10=4/5, cos B=BC/AB=6/10=3/5, tan B=AC/BC=8/6=4/3을 독립적으로 적었다. 다음 수업에서는 원래 문제의 풀이 부분을 가린 뒤 학생이 세 변의 역할을 먼저 표시하고, 삼각비의 수치와 변 길이의 단위를 구별하는 근거를 혼자 설명하게 한다. 완성한 뒤에는 (3/5)²+(4/5)²=1과 (sin A)/(cos A)=3/4를 사용해 원래 조건을 만족하는지 확인하는지 기록한다.