학익동 고등수학과외

−3을 세 번 곱하면 부호는 어떻게 될까

등비수열과 합을 다루다 보면 공비의 크기만 보고 부호를 빠뜨리는 경우가 있다. 예를 들어 첫째항이 2이고 공비가 −3인 등비수열에서 네 번째 항을 구하는 문제를 보자. 조건은 n≥1이며, 등비수열의 일반항은 aₙ=a₁r^(n−1)이다. 따라서 네 번째 항에서는 공비를 세 번 곱해야 한다. 이때 “2·3³=54”라고 답했다면, 단순히 계산 실수라고 바로 단정하지 않는다. 먼저 −3을 증가량처럼 생각했는지, 공비를 항상 양수로 처리했는지 구분할 필요가 있다.

교사는 “−3을 세 번 곱한 부호는 무엇인가?”라고 묻고, 학생이 직접 (−3)³을 괄호째 적어 보게 한다. 음수 두 개를 곱하면 양수이고, 여기에 음수를 한 번 더 곱하면 음수가 된다는 과정을 표시하게 한다. 또 공비는 앞 항에 곱하는 일정한 수이지, 항마다 더하는 증가량이 아님을 식으로 대조한다. 학생이 근거를 이어 쓸 수 있도록 a₄=a₁r³=2·(−3)³ 다음 식과 결론은 직접 완성하게 한다.

항 번호와 부호를 함께 넣어 수정하기

학생의 수정 풀이는 a₄=2·(−3)³=−54이다. 여기서 중요한 것은 답의 부호만 고친 것이 아니라, 네 번째 항이므로 공비를 n−1=3번 곱한다는 조건까지 반영한 점이다. 부분 검산으로 앞의 항을 차례로 써 보면 a₁=2, a₂=−6, a₃=18, a₄=−54가 된다. 부호가 양수와 음수로 번갈아 나타나고, 이웃한 항의 비가 각각 −3인지 확인하면 계산과 조건이 함께 맞는다.

이 과정에서 도출되는 −54는 주어진 등비수열의 네 번째 항을 뜻한다. 절댓값 54만으로는 공비 −3이라는 조건을 만족했다고 볼 수 없다. 한편 합 공식을 사용할 때는 분모에 r−1이 있으므로 r=1인지 먼저 확인해야 한다. 이번 문제의 공비는 −3이어서 r−1은 0이 아니며, 공식의 성립 조건을 따로 점검할 수 있다. 항을 구하는 일반항과 합을 구하는 공식은 목적이 다르므로 서로 혼동하지 않도록 식의 역할도 나누어 본다.

풀이를 가리고 새 조건에 다시 적용하기

재적용에서는 문제와 n≥1이라는 조건, 그리고 연속한 항을 써서 비를 확인하는 방법만 남긴 채 풀이·정답·유도 표시는 가리고 시작한다. 새 문제는 첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열에서 a₄를 구하는 것이다. 학생은 첫째항에 공비를 n−1번 곱한다는 방법을 유지해 3, 6, 12까지의 관계를 적고, a₄=3·2³=24를 구성해야 한다. 이어 3, 6, 12, 24를 써서 이웃한 항의 비가 모두 2인지 대조한다.

이 문제는 같은 방법을 다른 수에 적용한 것이며, 앞 문제의 음의 공비 조건을 그대로 가져오면 안 된다. 반대로 공비가 음수인 문제에서는 항 번호에 따라 부호가 바뀌는지 반드시 표시해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 학생이 풀이 순서를 외워 말하는지보다, 주어진 공비의 부호와 항 번호를 식에 넣고 검산 결과와 맞추는지를 확인한다. 부호가 다시 헷갈리면 연속한 네 항을 먼저 써서 변화 양상을 읽은 뒤 일반항으로 돌아가 점검한다.