학장동 중등수학과외

“(x+1)/2−(x−2)/3=2를 풀어라.” 학생은 이 문제를 먼저 받아 들고, 분모를 없애기 위해 양변에 6을 곱하는 장면부터 시작했다. 이번 수업에서 중요한 변화는 분수의 합이 차로 바뀌었고, 두 분자 모두 괄호로 제시되었다는 점이다. 학장동중등수학과외 수업에서는 계산 속도보다 분모를 없앤 뒤 각 분자 전체를 어떻게 옮겨 적는지에 초점을 둔다.

분수 차에서 먼저 확인한 괄호의 위치

학생은 아직 적용 문제의 계산을 끝내지 않고, “6을 곱하면 분모가 사라지니까 3x+1−2x−2=12가 되나요?”라고 물었다. 교사는 곧바로 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, “두 번째 분수의 분자 전체는 어디까지인가?”라고 되물었다. 학생이 x−2까지 손가락으로 표시하자, 교사는 첫 번째 문제에서 같은 판단이 어떻게 나타났는지 비교할 자료를 꺼냈다. 비교할 대표 문제는 (x−1)/3+x/2=3이다.

2x−1이 되기 전, 처음 달라진 판단

학생의 처음 풀이는 “양변에 6을 곱하면 2x−1+3x=18이므로 x=19/5”였다. 분모 3과 2를 없애기 위해 6을 선택한 부분과, 우변을 18로 바꾼 부분은 맞았다. 그러나 6×(x−1)/3에서 6을 3으로 나눈 뒤 남는 2가 어느 부분에 곱해지는지 묻자, 학생은 “x에 곱해진다”고 말했다. 말로 설명한 기준과 실제로 적은 식이 달랐으므로, 단순 계산 실수인지 분자 전체를 한 덩어리로 보지 못한 것인지 구분하기 위해 교사는 두 식을 나란히 대조했다.

교사는 답안의 2x−1+3x=18에 밑줄을 긋고 한 단계만 시범으로 보였다. 분자의 전체가 x−1이므로 2는 x에만 붙는 것이 아니라 2(x−1)로 써야 한다는 설명이었다. 그런 다음 학생에게 “괄호를 남긴 채 다음 줄을 직접 써 보자”고 맡겼다. 학생은 양변에 6을 곱한 뒤 2(x−1)+3x=18이라고 다시 적었다.

수정 풀이와 조건으로 확인한 x=4

학생은 괄호를 유지한 식에서 분배법칙을 적용해 2x−2+3x=18, 이어서 5x−2=18을 만들었다. 양변에 2를 더하면 5x=20이고, 양변을 5로 나누어 x=4를 얻었다. 처음 풀이와 달라진 부분은 6을 곱한 뒤 남은 수 2를 x에만 붙이지 않고 분자 전체에 곱했다는 점이다. 교사는 같은 식을 다시 계산하게 하지 않고 원래 조건에 값을 대입하도록 했다. x=4이면 (4−1)/3+4/2=1+2=3이므로 우변과 일치한다. 이 검산은 처음의 등식 변형을 반복하지 않고, 구한 값이 문제의 두 분수 조건을 실제로 만족하는지 확인한다.

새 조건에서 음수 괄호까지 이어 쓰기

이제 학생은 처음 보았던 적용 문제로 돌아왔다. 양변에 6을 곱하면 첫 번째 분수는 3(x+1), 두 번째 분수는 빼기 기호를 포함해 −2(x−2)가 되어야 한다. 학생은 이를 3(x+1)−2(x−2)=12로 적고, 3x+3−2x+4=12, x+7=12, x=5로 정리했다. 여기서 유지된 원리는 분모를 없앤 뒤 분자 전체를 괄호로 보존하는 것이고, 달라진 조건은 두 번째 분수 앞의 음수 때문에 괄호 안의 항을 전개할 때 부호가 함께 바뀐다는 점이다. x=5를 대입하면 (5+1)/2−(5−2)/3=3−1=2가 되어 조건과 맞는다.

다음에는 대표 문제의 식과 정답을 보여 주지 않은 채 같은 자료로 다시 시작하게 한다. 학생이 분모를 없앤 첫 줄에서 2(x−1)처럼 분자 괄호를 유지하고, 계산을 마친 뒤 얻은 값을 원래 식에 대입해 등식이 맞는 이유까지 설명하는지 확인한다. 필요한 경우 교사는 “분자 전체가 무엇이지?”라는 질문만 다시 제시하고, 이후 식 전개와 검산은 학생이 직접 남기게 한다.