학장동 고등수학과외

집합의 연산에서는 식을 계산한 뒤 결과가 주어진 조건과 맞는지 원소별로 확인해야 한다. 예를 들어 전체집합 U={1,2,3,4,5}, A={1,2}, B={2,3}일 때 (A∪B)의 여집합을 구하는 문제를 보자. 드모르간 법칙에 따르면 (A∪B)^c=A^c∩B^c이므로, 예시 오답 {1,3,4,5}가 나왔다면 이 결과가 실제로 어떤 조건을 만족하는지부터 살펴본다.

오답이 만든 조건을 원소별로 확인하기

A의 여집합은 U에서 1, 2를 제외한 {3,4,5}이고, B의 여집합은 U에서 2, 3을 제외한 {1,4,5}이다. 두 여집합을 합치면 {1,3,4,5}가 되지만, 이는 A의 여집합과 B의 여집합의 합집합이다. 문제에서 요구한 것은 합집합의 여집합이므로 같은 결과가 될 수 없다. 실제로 A∪B={1,2,3}을 먼저 만들고 U에서 이 원소들을 지우면 {4,5}가 남는다. 4와 5는 A에도 B에도 없지만, 1은 A에 있고 3은 B에 있으므로 여집합에 들어갈 수 없다.

‘또는’과 ‘그리고’의 범위를 나누어 묻기

이 오답만 보고 원소와 부분집합을 혼동했다고 단정하지 않는다. “A에도 B에도 없는 원소를 찾는가, 아니면 둘 중 하나에만 없어도 되는가?”라고 확인해 두 조건을 나눈다. ‘A∪B의 여집합’은 A에도 없고 B에도 없는 원소를 뜻하므로 ‘그리고’의 조건이다. 반면 A^c∪B^c는 A에 없거나 B에 없는 원소까지 포함하므로 {1,3,4,5}가 된다. 학생은 U의 원소 1부터 5까지 각각 A에 속하는지, B에 속하는지 표시하고, 계산 결과와 성립 여부를 따로 적는다. 이렇게 하면 기호를 외운 순서가 아니라 조건의 범위를 확인하며 식을 비교할 수 있다.

수정 풀이를 가리고 독립적으로 다시 적용하기

학생이 직접 U에서 A∪B={1,2,3}을 빼어 {4,5}를 얻도록 한다. 이어 A^c={3,4,5}, B^c={1,4,5}를 적고 두 집합의 교집합이 {4,5}임을 대조한다. 4와 5만 두 집합 모두에 없다는 점, 1과 3은 합집합에 포함되어 제외된다는 점이 검산 근거다. 그다음에는 문제와 조건, 전체집합의 원소만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 U={1,2,3,4,5}, A={1,3}일 때 A의 여집합을 구한다. A의 두 원소만 U에서 지우면 U−A={2,4,5}이고, A와 여집합은 겹치지 않으며 둘을 합하면 정확히 U가 된다. 마지막으로 수정 전후 풀이를 섞어 제시해 드모르간 법칙에 맞는 순서를 복원하게 하고, 합집합의 여집합과 한 집합의 여집합을 비교하게 한다. 기호 처리에서 막히면 원소별 소속 표시로 돌아가 선택 이유를 말하게 한다.