강서동 초등수학과외

막대그래프의 조건과 아이가 멈추는 지점

다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 막대그래프의 세로축은 0에서 시작하고, 세로축의 한 칸은 2명을 나타냅니다. 어떤 항목의 막대 끝은 4명 눈금과 6명 눈금의 정중앙에 놓여 있습니다. 이때 질문은 “막대 끝이 눈금 사이에 있으면 보기 편한 큰 수로 올려 써도 될까?”입니다. 아이가 막대 끝을 보고 6명이라고 적는다면, 그 답은 이 조건에서는 맞지 않습니다. 막대의 높이를 눈금에 억지로 맞추는 것이 아니라, 자료가 나타내는 값을 확인해야 하기 때문입니다.

활동 전에는 아이가 그래프의 세로축이 어디에서 시작하는지, 한 칸이 몇 명을 뜻하는지, 막대 끝을 어느 위치에서 읽는지 확인할 수 있는지 살펴봅니다. 이것을 이미 알고 있다고 단정하기보다 0 표시와 눈금 간격을 함께 확인한 뒤 막대 끝을 읽어 보게 합니다. 막대그래프 자료에는 0, 축의 시작값, 눈금 간격을 표시하고 문제의 모양에 맞는 막대를 만들어 봅니다. 막대의 폭은 자료의 수를 나타내지 않으며, 잘린 축이나 그림의 높이 비율만 보고 실제 인원을 판단해서도 안 됩니다.

자료의 수와 막대 끝을 연결하기

교사는 먼저 세로축의 4명과 6명 눈금을 차례로 짚고, 그 사이의 가운데 위치에 막대 끝이 있음을 보여 줍니다. 이어 원자료가 5명이라는 정보를 함께 확인합니다. 아이가 “눈금 사이 값은 6명으로 올리면 된다”고 말하거나 그렇게 표시한다면, 교사는 틀린 답이라고 알려 주되 그 원인을 바로 정하지 않습니다. 문제의 자료 단위를 확인하지 못한 것인지, 막대 끝의 위치와 수를 연결하는 과정에서 막힌 것인지 나누어 볼 필요가 있습니다.

아이에게 “이 막대가 나타내는 자료의 단위는 무엇인가?”, “4명에서 6명으로 갈 때 중간에는 몇 명이 있는가?”라고 묻고, 말로 설명하기 어렵다면 4와 6 사이에 5를 적거나 막대 끝을 손가락으로 가리키게 합니다. 교사는 4명과 6명 사이의 한가운데가 5명임을 짚어 주고, 원자료가 5명이라고 제시된 경우에는 그 값을 임의로 6명으로 바꾸지 않는다고 설명합니다. 그래프의 모양을 크게 그렸는지 작게 그렸는지는 자료의 실제 인원을 바꾸지 않습니다.

그다음 아이가 직접 축의 0, 4, 6을 확인하고 막대 끝을 가리킨 뒤 “5명”이라고 적어 봅니다. 식으로는 4명과 6명의 중간값을 확인하여 5명으로 읽을 수 있습니다. 중요한 것은 숫자 5를 적는 데서 끝나지 않고, 막대 끝의 위치와 원자료가 같은 값을 나타낸다는 근거를 보여 주는 것입니다. 아이가 긴 문장으로 설명하지 못해도 4와 6 사이를 가리키고 5를 적는 행동으로 이해를 확인할 수 있습니다.

문제와 자료를 유지한 재시도

교사의 시범 뒤에는 같은 문제와 막대그래프 자료를 그대로 두고, 해설과 정답 표시만 가린 상태에서 다시 해 봅니다. 아이는 세로축의 시작값 0과 한 칸의 값 2명을 먼저 확인하고, 4명 눈금과 6명 눈금 사이에 있는 막대 끝을 찾습니다. 그런 다음 막대가 나타내는 원자료가 5명임을 이용해 답을 적습니다. 이때 모형을 치우거나 그림 없이 외워서 푸는 것을 요구하지 않습니다. 막대, 축, 눈금이 같은 관계를 나타내는지 살피면서 자료를 이용해 답을 구하는 과정이 핵심입니다.

교사는 아이가 다시 6명으로 쓰면 “막대 끝이 6명 눈금에 닿아 있니, 아니면 4명과 6명 사이에 있니?”라고 물어 위치를 비교하게 합니다. 반대로 5명을 적었지만 아무 근거 없이 고른 경우에는 4명과 6명 사이를 직접 표시하거나, 4에서 6까지 두 명이 늘어나는 중간 지점을 옮겨 보게 합니다. 이렇게 하면 문제의 뜻, 자료와 수의 연결, 계산이나 읽기 과정 중 어느 부분에서 도움이 필요한지 더 구체적으로 확인할 수 있습니다.

새로운 자료에서 0과 알 수 없음을 구분하기

이어서 새로운 막대그래프를 사용해 가반과 나반의 조사 결과를 살펴봅니다. 가반은 조사 결과가 0명으로 확인되었고, 나반은 아직 조사하지 않아 값이 빈칸입니다. 두 항목에 모두 높이 0인 막대를 그린 예가 있다면, 아이는 가반의 값만 0명이라고 판단해야 합니다. 조사된 사람이 없다는 자료는 0을 뜻하지만, 조사하지 않아 빈칸인 자료는 알 수 없는 값이므로 0으로 바꿀 수 없습니다. 아이가 가반에는 0을 적고 나반은 빈칸이나 ‘알 수 없음’으로 따로 표시하는지 확인합니다.

마지막으로 가가 12명, 나가 8명인 막대의 좌우 위치를 바꾸고 항목 이름도 함께 옮겨 봅니다. 위치가 달라져도 가의 자료는 12명, 나의 자료는 8명이며 최댓값은 여전히 가의 12명입니다. 아이가 막대의 위치가 아니라 축의 값과 항목 이름을 함께 확인해 답을 찾는지 살펴볼 수 있습니다. 다음 활동에서는 수나 조건이 바뀐 부분을 먼저 찾고, 답을 기억해서 말하는 대신 막대 끝과 세로축의 눈금을 가리켜 그 이유를 다시 보여 주도록 합니다.