강서동 고등수학과외

풀이와 정답을 가린 뒤, 다음 문제만 다시 펼쳐 놓는다. 문제는 $f(x)=x^3+2$의 $x=0$에서 극값 여부를 판단하는 것이다. 먼저 학생이 앞서 적었던 “도함수 0이므로 극솟값 2”라는 답을 보지 않고, $f'(x)=3x^2$를 직접 계산해 표시한다. 이어 “$3x^2$이 0 좌우에서 음수에서 양수로 바뀌는가?”라는 질문에 답하며 판단 근거를 복원한다.

도함수 0이라는 조건부터 다시 확인하기

$f'(0)=0$인 것은 계산 결과로 확인되지만, 이것만으로 극값이라고 결론 내릴 수는 없다. 극값을 판단하려면 해당 점의 양쪽에서 함수가 감소하다 증가하는지, 또는 증가하다 감소하는지를 살펴야 한다. $x<0$이든 $x>0$이든 $3x^2>0$이므로 $x=0$을 제외한 양쪽 구간에서 함수는 증가하는 방향을 유지한다. 학생은 부호표에 왼쪽과 오른쪽의 도함수 부호를 따로 적고, 0에서 부호가 음수에서 양수로 바뀌지 않는다는 점을 표시한다.

잘못된 결론을 함수값과 함께 대조하기

교사는 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, “도함수가 0이면 항상 극값이라고 생각했는가?”, “정의역이나 구간의 끝점을 빠뜨렸는가?”를 확인한다. 그다음 원래 식에 작은 양수 $h$를 대입해 $f(-h)=2-h^3<2$, $f(h)=2+h^3>2$임을 비교하게 한다. $x=0$의 함수값 2보다 한쪽에서는 작고 다른 쪽에서는 크므로, 양쪽 값이 모두 커지는 극솟값도 아니고 모두 작아지는 극댓값도 아니다. 따라서 이 문제의 정답은 극값 없음이다. 구간의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제라면 도함수 부호로 찾은 후보만 보지 말고, 허용된 끝점의 함수값까지 함께 비교해야 한다.

조건을 바꾼 문제에 같은 기준 적용하기

이제 문제와 필요한 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 $f(x)=x^4$의 $x=0$에서 극값 여부와 값을 구한다. 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 함수의 조건이 달라졌으므로, 도함수 $f'(x)=4x^3$를 새로 계산하고 좌우 부호를 확인해야 한다. $x<0$에서는 도함수가 음수, $x>0$에서는 양수이므로 감소에서 증가로 방향이 바뀐다. 따라서 $x=0$에서 극소가 생기며 $f(0)=0$이다. 또한 모든 $x$에 대해 $x^4\ge0$이고 0에서 실제로 0이므로 최솟값도 0임을 검산할 수 있다.

마지막으로 학생은 처음 오답을 스스로 고쳐 “$3x^2$은 0 좌우에서 음수에서 양수로 바뀌지 않으므로 극값이 없다”고 설명하고, 이어 $x^4$에서는 부호가 음수에서 양수로 바뀌어 극솟값 0이라고 정리한다. 두 풀이와 값이 모두 맞을 때 다음 점검으로 넘어간다. 도함수 0과 극값을 계속 혼동한다면 도함수 부호표와 실제 함수값의 높이를 별도로 작성해 비교한다.