광주효천지구 초등수학과외

“밑변과 높이를 모두 반으로 해야 하나요?”

이 글은 삼각형 넓이를 구하는 교육용 활동 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 밑변이 8cm이고 높이가 6cm인 삼각형을 보며 “삼각형이니까 밑변 8과 높이 6을 각각 2로 나눠서 4×3을 계산해야 하지 않을까요?”라고 반응할 수 있습니다. 이때 비교할 식은 두 가지입니다. 밑변과 높이를 각각 반으로 한 4×3=12와, 밑변과 높이의 곱을 먼저 구한 뒤 한 번만 나눈 8×6÷2=24입니다. 질문은 2로 나누는 것이 밑변과 높이를 모두 반으로 하라는 뜻인지 확인하는 데 있습니다.

직각 표지로 밑변과 높이의 관계 살피기

활동 전에는 직사각형의 넓이를 구해 본 뒤, 삼각형에서 밑변과 직각을 이루는 높이를 찾을 수 있는지 살핍니다. 이 능력을 이미 갖추었다고 단정하지 않고, 밑변에 직각 표지를 대 보며 어느 선분이 높이에 해당하는지 확인합니다. 밑변과 수직 높이가 표시된 삼각형 종이를 준비하고, 아이가 문제에 주어진 모양을 직접 만들어 보게 합니다. 높이는 아무 선이나 긴 길이를 뜻하는 것이 아니라, 선택한 밑변 또는 그 연장선에 수직인 거리입니다.

교사는 삼각형의 밑변을 손가락으로 짚은 다음 “이 선과 직각을 이루며 꼭짓점까지 이어지는 거리는 어디일까?”라고 묻습니다. 아이가 높이를 다른 변으로 고르거나 직각이 아닌 선을 가리킨다면, 직각 표지를 밑변과 선 사이에 놓아 보게 합니다. 말로 이유를 설명하기 어렵다면 아이가 표지를 옮기거나 해당 선을 그어도 됩니다. 이렇게 밑변 8cm와 그 밑변에 수직인 높이 6cm가 한 쌍으로 대응한다는 점을 확인합니다.

두 삼각형과 직사각형 넓이로 식 연결하기

교사는 같은 삼각형 두 장을 붙여 하나의 직사각형 모양 영역을 만들어 보입니다. 두 삼각형이 합쳐진 넓이는 밑변과 높이를 곱한 직사각형 넓이와 같고, 한 장의 삼각형은 그 절반입니다. 따라서 아이는 8×6=48cm²를 구한 뒤, 그중 한 삼각형의 넓이를 나타내도록 2로 한 번 나누어 24cm²라고 적습니다. 여기서 2로 나누는 것은 밑변 8cm와 높이 6cm를 각각 반으로 바꾸라는 뜻이 아니라, 같은 크기의 삼각형 두 장이 직사각형 하나를 이룬다는 관계를 식에 반영하는 것입니다.

아이가 4×3=12라고 계산했다면 그 답은 이 문제의 삼각형 넓이로는 틀렸다고 설명하되, 틀린 원인을 바로 단정하지 않습니다. 밑변과 높이를 모두 반으로 해석했는지, 두 삼각형이 만드는 전체 영역과 한 장의 영역을 구별하지 못했는지 살펴볼 수 있습니다. 교사는 8cm와 6cm가 표시된 자료를 유지한 채 “어느 길이를 반으로 바꾼 것인지”, “두 삼각형을 붙였을 때 전체 넓이는 얼마인지”를 차례로 묻습니다. 한 부분은 교사가 직접 붙여 보인 뒤, 이어서 아이가 두 장을 다시 옮겨 직사각형을 만들고 48의 절반을 구하게 합니다.

재시도할 때는 문제와 삼각형 종이, 직각 표지를 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 아이는 밑변에 대응하는 높이를 다시 정하고, 두 삼각형을 붙인 영역과 한 장의 영역을 구별한 뒤 8×6÷2를 계산합니다. 말로 긴 설명을 하지 않아도 밑변을 짚고, 높이에 직각 표지를 놓고, 두 장 중 한 장을 가리키며 24cm²를 얻는다면 활동과 식이 연결되는 근거를 확인할 수 있습니다.

밑변 연장선에 닿는 높이에도 적용하기

이어서 밑변 길이 6cm, 높이 4cm인 둔각삼각형을 새로운 자료로 제시합니다. 이번에는 꼭짓점에서 내린 수선이 삼각형 안쪽이 아니라 밑변의 연장선에 닿을 수 있습니다. 아이가 도형 밖에 그어진 선을 높이로 인정하기 어려워한다면, 교사는 밑변과 수선이 만나는 지점에 직각 표지를 놓아 두 선이 수직인지 확인하게 합니다. 높이는 도형 안에 그어진 선인지보다 선택한 밑변 또는 그 연장선과 수직인 거리가 무엇인지가 중요합니다. 아이가 6×4÷2를 직접 계산하면 넓이는 12cm²입니다.

마지막에는 기본 문제의 8cm·6cm와 새 문제의 6cm·4cm가 달라졌고, 새 도형에서는 수선이 밑변 연장선에 닿는다는 점을 비교합니다. 필요하면 가로 6cm, 세로 4cm인 직사각형을 대각선으로 잘라 두 삼각형을 포개어 볼 수 있습니다. 두 조각의 모양과 넓이가 같으므로 한 조각은 6×4÷2=12cm²가 됩니다. 다음 활동에서는 아이가 답 24나 12를 외워 쓰는지보다, 자료에서 밑변과 수직 높이를 찾아 곱한 뒤 한 번 절반으로 만드는 이유를 가리키기·옮기기·그리기로 보여 주는지 확인합니다.