봉선동 초등수학과외

높이만 늘어난 상자에서 무엇이 달라질까?

다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 4cm, 세로 3cm, 높이 2cm인 직육면체 상자의 높이를 3cm로 늘리고, 달라진 면을 표시하는 문제입니다. 상자 전개도에는 위·아래 면과 네 개의 옆면이 나타나며, 각 면의 가로와 세로를 적어 실제 상자를 덮는 면의 넓이를 확인합니다. 질문은 “높이가 늘어나면 위·아래 면도 넓어질까?”입니다.

아이는 높이가 커졌으니 여섯 면의 넓이가 모두 같은 양만큼 늘어난다고 생각할 수도 있습니다. 이때 바로 답을 틀렸다고 단정하기보다, 전개도에서 높이 2cm 또는 3cm가 어느 면의 변으로 쓰였는지 살펴보게 합니다. 위·아래 면은 가로 4cm와 세로 3cm로 이루어지고, 옆면은 높이를 한 변으로 가집니다. 따라서 높이의 변화가 위·아래 면과 옆면에 같은 방식으로 적용되는지 구분하는 것이 핵심입니다.

면의 짝을 찾아 넓이를 식으로 연결하기

교사는 전개도의 한 면을 짚으며 “이 면의 두 변은 무엇인가?”라고 묻고, 아이가 가로와 세로를 따라가게 합니다. 위·아래 면에는 4cm와 3cm가 그대로 남아 있으므로 각각 4×3=12cm²입니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 같은 크기의 두 면을 손가락으로 짝짓거나, 전개도에서 위·아래 면을 같은 색으로 표시해도 됩니다. 이 두 면은 높이를 2cm에서 3cm로 바꾸어도 가로와 세로가 변하지 않으므로 각 12cm²입니다.

이어서 높이를 포함하는 옆면 네 장을 살펴봅니다. 높이가 2cm일 때 옆면의 두 종류는 4×2와 3×2이고, 같은 면이 각각 두 장씩 있습니다. 겉넓이는 2×(4×3)+2×(4×2)+2×(3×2)=24+16+12=52cm²입니다. 높이가 3cm가 되면 위·아래 면은 여전히 각 12cm²이고, 옆면은 4×3과 3×3으로 바뀝니다. 따라서 2×(4×3)+2×(4×3)+2×(3×3)=24+24+18=66cm²입니다. 높이가 영향을 준 것은 옆면 네 장이며, 여섯 면 모두가 같은 양만큼 넓어진 것은 아닙니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 확인하는 과정

아이가 면의 역할을 섞어 말하면 교사는 옆면 하나의 높이 변만 먼저 손가락으로 따라가고, 2cm 길이의 띠가 3cm 길이의 띠로 바뀌는 모습을 조작해 보입니다. 그다음 나머지 옆면은 아이가 직접 찾아 같은 크기끼리 묶고, 위·아래 면에는 높이가 쓰이지 않는다는 점을 가리키게 합니다. 긴 문장으로 이유를 설명하지 못해도 위·아래 면을 표시하고 옆면의 높이 부분을 옮겨 그리면 이해를 확인할 수 있습니다.

재시도할 때는 4cm, 3cm, 높이 2cm와 3cm가 표시된 문제와 전개도를 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 모형은 처음 상태인 4cm×3cm×2cm와 바뀐 상태인 4cm×3cm×3cm를 다시 놓습니다. 아이는 먼저 위·아래 면을 각각 12cm²로 계산하고, 옆면 네 장의 넓이를 더해 52cm²와 66cm²를 구합니다. 교사는 답 숫자만 맞는지보다 어느 면의 변이 바뀌었는지 자료로 보여 주는지를 확인합니다.

겉넓이와 준비할 종이를 구분해 새 문제에 적용하기

새로운 문제에서는 2cm×3cm×4cm 상자의 겉넓이 52cm²에 접착 여유 종이 6cm²를 더 준비한다고 해 보겠습니다. 먼저 도형을 실제로 덮는 겉넓이는 52cm²이고, 접착 여유는 상자의 면 넓이가 아니라 추가로 준비하는 종이입니다. 그러므로 필요한 종이는 52+6=58cm²입니다. 아이는 기본 문제와 달리 이번에는 겉넓이와 접착 여유를 한 값으로 섞지 않고, 두 수의 역할을 나누어 계산해야 합니다.

추가 비교가 필요할 때는 1cm×1cm×5cm 상자와 1cm×2cm×3cm 상자를 사용합니다. 첫 상자의 겉넓이는 2×(1×1+1×5+1×5)=22cm², 부피는 1×1×5=5cm³입니다. 둘째 상자의 겉넓이도 2×(1×2+2×3+1×3)=22cm²이지만 부피는 1×2×3=6cm³입니다. 아이가 두 상자의 겉넓이는 같아도 부피는 다를 수 있음을 각 면과 식으로 보여 주는지 다음 활동에서 확인합니다.