월산동 초등수학과외

35cm 띠를 나누면 조각은 달라져도 전체는 같을까?

이 글은 초등수학 수업에서 활용할 수 있는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 길이가 각각 35cm인 두 띠를 준비하고, 한 띠는 5등분하고 다른 띠는 7등분합니다. 35cm를 5로 나눈 한 조각은 7cm이고, 35cm를 7로 나눈 한 조각은 5cm입니다. 따라서 5등분한 띠에서는 7cm 조각 5개를, 7등분한 띠에서는 5cm 조각 7개를 다시 이어 붙이게 됩니다. 질문은 “모든 조각을 다시 모으면 어느 띠가 더 길까?”입니다.

아이에게는 큰 조각으로 나눈 띠를 다시 모으면 더 길 것 같다는 생각이 들 수 있습니다. 하지만 여기서 비교해야 할 것은 한 조각의 길이가 아니라, 각각의 조각을 빠짐없이 모은 전체 길이입니다. 5등분한 띠의 한 조각은 더 길지만 조각 수가 5개이고, 7등분한 띠의 한 조각은 더 짧지만 조각 수가 7개입니다. 조각 하나의 크기와 조각을 모두 모은 전체를 같은 것으로 보지 않았는지 살펴볼 수 있습니다.

한 조각의 길이와 전체 길이를 자료로 맞춰 보기

교사는 먼저 두 띠의 시작점을 자의 0cm에 맞추고, 두 띠가 모두 35cm까지 이어지는지 확인하게 합니다. 그다음 5등분한 띠에서 한 조각의 길이를 재어 7cm임을 확인하고, 7등분한 띠에서는 한 조각이 5cm임을 확인합니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면 7cm 조각과 5cm 조각을 각각 손가락으로 가리키거나, 조각을 하나씩 옮겨 놓는 행동으로 확인할 수 있습니다.

교사는 “5등분한 띠의 조각은 몇 개이고, 한 조각은 몇 cm인가?”, “그 조각을 모두 이어 붙이면 몇 cm가 되는가?”처럼 물을 수 있습니다. 필요한 경우 7cm 조각 하나를 먼저 놓는 시범을 보인 뒤, 나머지 조각은 아이가 직접 이어 붙이게 합니다. 아이가 조각을 세면서 ‘하나, 둘, 셋…’이라고 말하는 수는 조각의 개수이고, 7cm나 5cm는 한 조각의 길이입니다. 이 둘을 섞지 않도록 조각 수와 길이를 따로 확인합니다.

식으로 복원한 전체를 확인하기

5등분한 띠는 7cm 조각 5개이므로 7×5=35cm입니다. 7등분한 띠는 5cm 조각 7개이므로 5×7=35cm입니다. 곱셈의 순서를 바꾸어도 두 식이 나타내는 양은 각각 35cm로 같습니다. 아이가 두 종류의 조각을 실제로 한 줄씩 이어 붙인 뒤 자로 길이를 다시 재어 보면, 어느 쪽도 더 길지 않고 처음의 35cm 띠로 복원된다는 근거를 확인할 수 있습니다.

재시도할 때는 문제와 35cm 띠, 자와 나눈 조각을 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 이미 35cm가 되도록 놓인 모형을 그대로 보여 주기보다, 아이가 5등분한 조각과 7등분한 조각을 다시 흩어 놓은 상태에서 시작하게 합니다. 교사가 한 조각의 시작점을 맞대는 과정을 짧게 시범 보인 뒤, 아이가 조각을 빠짐없이 옮겨 이어 붙이고 개수를 세며 길이를 확인하도록 합니다. 이때 답을 말하지 못해도 두 줄의 끝을 맞추거나 자의 눈금을 가리키면 이해의 근거로 볼 수 있습니다.

조건이 달라진 띠에도 같은 관계를 적용하기

이어서 48cm 띠를 준비하고, 한 띠는 6등분하고 다른 띠는 8등분합니다. 6등분한 한 조각은 8cm이고 조각 6개를 다시 모으면 8×6=48cm입니다. 8등분한 한 조각은 6cm이고 조각 8개를 다시 모으면 6×8=48cm입니다. 기본 문제와 달라진 것은 전체 길이와 등분한 수이며, 모든 조각을 빠짐없이 다시 모으면 처음의 전체 길이가 된다는 관계는 같습니다. 아이가 새 자료에서도 조각의 길이만 비교하지 않고 조각 수와 한 조각의 길이를 함께 이용하는지 확인합니다.

추가로 같은 15cm 띠에서 1/5과 2/5를 비교해 볼 수 있습니다. 1/5은 15cm를 5등분한 한 조각이므로 3cm이고, 2/5는 그 조각 두 개이므로 6cm입니다. 분모가 같다는 이유만으로 두 양이 같다고 할 수는 없습니다. 다음 활동에서는 아이가 답을 기억해 말하는 데 그치지 않고, 실제 조각을 고르거나 옮겨서 한 조각의 크기와 전체에서 차지하는 양을 보여 주는지 살펴봅니다.