대구남산동 초등수학과외

6cm 밑변과 4cm 높이를 가진 삼각형 살펴보기

이 글은 삼각형의 넓이를 구하는 교육용 활동 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 밑변이 6cm이고 그 밑변에 수직인 높이가 4cm인 직각삼각형이 있습니다. 처음에는 삼각형 종이에 표시된 6cm 변과 직각 표지를 살펴보며 넓이를 구합니다. 직사각형의 넓이를 가로×세로로 구할 수 있는지, 그리고 삼각형의 높이가 밑변과 직각으로 만나는 거리인지 활동 전에 확인해 봅니다. 이때 아이가 이미 알고 있다고 단정하지 않고, 직사각형 모양 자료의 가로와 세로를 짚어 넓이를 구해 보게 하며 필요한 이해를 살핍니다.

교사는 6cm인 밑변과 그 끝에서 위 꼭짓점까지 이어지는 4cm 높이를 차례로 짚습니다. 아이가 밑변의 길이와 높이를 혼동하거나 삼각형의 비스듬한 변을 높이라고 가리킬 수도 있습니다. 그 답이 틀렸다는 사실만으로 원인을 정하지 않고, 직각 표지를 새로 가리키며 “이 선은 밑변과 어떤 각도로 만날까?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 직각 표지를 밑변과 선분이 만나는 곳에 놓아 보게 합니다. 밑변과 직각으로 만나는 선이 높이라는 점을 자료의 위치로 확인한 뒤, 아이가 6×4÷2를 계산해 삼각형 넓이 12cm²를 구하는지 살핍니다. 삼각형은 같은 크기의 삼각형 두 개를 붙이면 직사각형이 될 수 있으므로, 직사각형 넓이 6×4에서 절반을 취한다는 관계도 함께 연결합니다.

4cm 변을 새 밑변으로 고를 때

이제 같은 삼각형에서 이번에는 4cm인 변을 새 밑변으로 골라 봅니다. 여기서 “어느 변을 밑변으로 골라도 원래 높이 4cm를 그대로 쓴다”라고 하면 조건에 맞지 않습니다. 높이는 숫자 하나로 고정된 이름이 아니라, 선택한 밑변 또는 그 연장선에 수직인 거리이기 때문입니다. 교사는 4cm 변을 가리킨 뒤 그 변에 직각으로 닿는 꼭짓점까지의 거리를 찾아 보게 합니다. 아이는 삼각형 종이를 돌려 놓거나 직각 표지를 옮기면서 새 밑변과 수직인 선을 확인합니다. 새 밑변에 대응하는 높이는 6cm가 됩니다.

아이가 새 높이를 찾은 뒤에는 모형과 식을 연결합니다. 새 밑변 4cm, 새 높이 6cm이므로 넓이는 4×6÷2=12cm²입니다. 처음의 6×4÷2와 곱해지는 두 수의 순서만 달라졌을 뿐, 같은 삼각형의 넓이를 나타냅니다. 중요한 것은 4cm 변을 밑변으로 선택했다는 이유만으로 기존 높이를 복사하지 않고, 새 밑변에 수직인 거리를 다시 정하는 것입니다. 아이가 긴 문장으로 설명하지 못하더라도 4cm 변을 가리키고, 직각 표지를 옮기고, 6cm 선분을 찾아 식에 적는 행동이 이어지면 이해의 근거로 볼 수 있습니다.

자료를 유지한 재시도와 새 문제

교사의 시범 뒤에는 문제와 삼각형 종이, 직각 표지를 그대로 두고 해설과 정답만 가린 채 처음 상태에서 다시 해 보게 합니다. 아이는 6cm 밑변과 4cm 높이를 한 번 확인한 다음, 4cm 변을 새 밑변으로 선택하고 그에 수직인 6cm 거리를 찾아야 합니다. 이어서 4×6÷2를 계산해 12cm²를 얻는지 확인합니다. 답만 떠올리는지, 아니면 밑변을 가리킨 뒤 그 밑변에 맞는 높이를 다시 찾아 모형과 식으로 연결하는지가 다음 확인 내용입니다.

새 자료로는 가로 8cm, 세로 4cm인 직사각형 종이를 대각선으로 잘라 봅니다. 두 조각 중 한 삼각형을 골라 넓이를 계산하면 8×4÷2=16cm²입니다. 두 삼각형을 포개었을 때 모양과 크기가 같다는 점을 확인하면, 직사각형 전체를 두 삼각형이 나누어 가진다는 관계도 볼 수 있습니다. 기본 문제와 달라진 것은 수치와 자료의 모양이지만, 선택한 밑변에 수직인 높이를 찾아 삼각형 넓이를 밑변×높이÷2로 구한다는 관계는 이어집니다. 필요하다면 밑변 6cm, 높이 4cm인 둔각삼각형에서 수선이 밑변의 연장선에 닿는 경우도 비교할 수 있습니다. 도형 밖에 그어진 수선도 선택한 밑변에 수직인 거리이므로 높이이며, 넓이는 6×4÷2=12cm²입니다.