작전동 초등수학과외

두 직사각형 종이를 붙이면 무엇이 달라질까요?

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 변의 길이가 가로 5cm, 세로 3cm로 표시된 직사각형 종이 두 장을 준비하고, 두 종이를 겹치지 않게 3cm인 변끼리 맞붙입니다. 활동 전에는 아이가 각 직사각형의 둘레를 구할 수 있는지, 두 종이가 맞닿은 선분을 찾아 표시할 수 있는지 확인합니다. 이 능력을 이미 갖추었다고 단정하기보다, 실제 종이를 보며 필요한 부분부터 살펴보는 것입니다.

먼저 종이 한 장의 넓이는 5×3=15cm²이고, 두 장의 넓이는 15+15=30cm²입니다. 한 장의 둘레는 5+3+5+3=16cm이므로 붙이기 전 두 종이의 둘레를 합하면 32cm입니다. 아이가 두 종이를 붙인 뒤 둘레가 줄어든 것을 보고 넓이도 함께 줄었다고 생각할 수 있습니다. 그러나 이때 줄어든 것은 종이 안쪽의 면적이 아니라 바깥에서 보이는 경계의 일부입니다.

맞닿은 선분은 왜 둘레에서 빠질까요?

교사는 두 종이가 맞닿은 3cm 선분을 손가락으로 짚으며, 붙이기 전에는 이 선분이 각 종이의 둘레에 한 번씩 포함되어 있었다는 점을 보여 줍니다. 두 종이를 붙인 뒤에는 그 선분이 도형의 안쪽 경계가 되어 바깥을 한 바퀴 돌 때 지나가지 않습니다. 따라서 공유된 3cm가 두 번씩, 모두 6cm만큼 외곽 둘레에서 빠집니다. 계산으로는 32-2×3=26cm가 됩니다.

아이가 점 하나만 닿은 경우와 선분 전체가 맞닿은 경우를 혼동한다면, 교사는 종이를 살짝 떨어뜨렸다가 3cm 변 전체를 맞추는 모습을 시범 보일 수 있습니다. 점 접촉은 길이가 있는 공유 구간이 아니므로 둘레에서 뺄 선분이 없지만, 이번 문제에서는 3cm 길이의 선분이 실제로 겹치지 않고 맞닿아 있습니다. 아이는 맞닿은 부분을 표시한 뒤 손가락으로 새 도형의 외곽을 한 바퀴 따라가며 26cm를 확인합니다.

넓이와 둘레를 각각 다시 계산해 봅니다

교사는 “둘레가 줄어도 두 종이의 넓이 합은 같을 수 있을까?”라고 묻고, 아이가 종이 두 장을 직접 붙여 보게 합니다. 겹침 없이 붙였으므로 어느 한쪽의 종이가 다른 종이 아래로 들어간 부분은 없습니다. 아이는 두 직사각형의 넓이를 각각 15cm²로 세거나 식으로 나타낸 뒤, 15+15=30cm²라고 적습니다. 이어서 맞닿은 3cm 선분을 가리키고, 각 종이의 둘레를 합한 32cm에서 3cm가 두 번 빠진다고 표시하여 26cm를 구합니다.

말로 이유를 길게 설명하지 못하더라도, 아이가 종이 안쪽 전체를 가리켜 넓이를 더하고 맞닿은 선분을 가리켜 둘레에서 제외한다면 두 양을 구분하고 있다는 근거가 됩니다. 재시도할 때는 문제와 두 직사각형 종이는 그대로 두고, 해설과 정답만 가립니다. 종이를 처음 상태처럼 다시 놓은 뒤 아이가 3cm 변을 맞추고, 공유 구간을 표시하고, 넓이와 둘레를 차례로 계산하게 합니다.

맞닿는 길이가 달라지면 둘레도 달라집니다

새 문제에서는 가로 5cm, 세로 3cm인 직사각형 두 장을 평행하게 어긋나 놓고, 세로 변 가운데 2cm만 맞닿게 붙입니다. 넓이는 여전히 두 장의 넓이를 더한 30cm²이지만, 이번에는 공유된 선분이 2cm입니다. 붙이기 전 둘레의 합 32cm에서 공유 구간이 두 번 포함된 4cm를 빼므로 새 도형의 둘레는 32-2×2=28cm입니다. 아이는 기본 문제와 달라진 것이 종이의 넓이가 아니라 실제로 맞닿은 선분의 길이라는 점을 자료에서 찾아 표시합니다.

추가로 6cm×3cm 직사각형 두 장을 3cm 변끼리 맞붙이는 경우에는 한 장의 둘레가 18cm, 두 장의 합이 36cm입니다. 공유 길이 3cm가 두 번 빠지므로 둘레는 36-2×3=30cm입니다. 다음 확인에서는 아이가 26cm나 30cm라는 답만 기억하는지보다, 새 자료에서 맞닿은 선분을 직접 찾고 그 길이를 두 번 빼는 이유를 종이와 식으로 보여 주는지 살펴봅니다.