작전동 고등수학과외

끝점이 열린 조건에서 먼저 달라지는 것

이렇게 답했다면 어떻게 판단했는지부터 살펴본다. 함수 f(x)=x²의 정의역이 (0,2)일 때 치역을 구하며 양 끝의 수를 그대로 제곱해 [0,4]라고 했다면, 계산 자체보다 허용된 입력을 제대로 반영했는지가 핵심이다. 0과 2는 정의역에 포함되지 않으므로 x=0에서 0이 나오거나 x=2에서 4가 나오는 것은 실제 함수의 출력으로 셀 수 없다.

배움노트 고등수학 수업에서는 이 결론을 곧바로 틀렸다고 고치기보다 “정의역 안의 x=0은 어떤 출력을 만드는가?”라고 묻는다. 학생은 먼저 0이 정의역 (0,2)에 들어가는지 직접 표시하고, 각 끝점이 허용되는지 괄호와 함께 대조한다. 이어 0<x<2를 제곱할 때 부호가 유지되는지 확인하면 0<x²<4를 얻는다. 따라서 0과 4는 만들 수 없고, 치역은 (0,4)이다.

기준이 되는 닫힌 구간의 치역 만들기

이제 정의역 [−1,2]에서 f(x)=x²의 치역을 살펴본다. 끝점만 대입해 1과 4를 얻고 [1,4]라고 했다면, 구간 안의 입력을 빠뜨린 것이다. 학생에게 x=0을 직접 대입하게 하면 f(0)=0이라는 출력이 생긴다. 또한 제곱 함수의 꼭짓점이 x=0에 있고, 이 입력이 [−1,2] 안에 포함됨을 표시하게 한다.

교사는 양 끝의 값과 내부의 최솟값을 분리해 비교하도록 안내한다. f(−1)=1, f(2)=4이지만, 0에서 0이 나오므로 최솟값은 0이다. x가 0에서 2 사이에 있을 때 제곱값은 0에서 4 사이의 값을 빠짐없이 만들고, 음의 입력 −1에서 0으로 움직일 때도 1에서 0까지의 출력이 이어진다. 학생이 다음 줄을 직접 적으면 “최소 0, 최대 4이며 그 사이 모든 값을 얻으므로 치역은 [0,4]”가 된다.

이 결론은 단순한 수치 대입만으로 끝내지 않는다. 0≤y≤4인 임의의 출력 y를 생각하면 x=√y를 택할 수 있고, 이 값은 [0,2] 안에 있다. 그러므로 실제 정의역의 입력이 y를 만든다. 끝점 y=0과 y=4도 각각 x=0, x=2에서 얻어지므로 두 끝점이 치역에 포함된다는 사실까지 확인할 수 있다.

조건만 바꾸어 치역을 다시 세우기

같은 식 y=x²이라도 정의역의 괄호가 바뀌면 결론이 달라진다. 문제와 정의역 (0,2)만 적어 두고 풀이와 정답을 가린 상태에서, 학생이 먼저 0<x<2를 표시한 뒤 제곱해 0<y<4를 얻는지 확인한다. 여기서 [−1,2]에서 구한 [0,4]를 표현만 바꿔 옮기는 것이 아니라, 실제 조건이 달라졌으므로 양 끝 출력의 가능 여부를 다시 판단해야 한다.

학생은 0과 4를 달성할 수 없는 이유를 각각 입력에서 찾아 적는다. 0을 만들려면 x=0이어야 하지만 0은 정의역 밖이고, 4를 만들려면 x=2 또는 x=−2가 필요하지만 이 구간에는 x=2가 포함되지 않는다. 반대로 임의의 y∈(0,4)에 대해 x=√y를 택하면 √y∈(0,2)이므로 중간 출력은 빠짐없이 생긴다. 따라서 치역은 (0,4)로 확정된다.

마지막에는 처음의 [−1,2] 문제를 다시 제시하되 정답과 검산 문장은 보이지 않게 한다. 학생이 정의역의 포함 여부, 0을 만드는 입력, 양 끝 출력의 달성 여부를 스스로 적고 [0,4]를 얻는지 본다. 이후 (0,2)에서도 같은 절차를 적용해 (0,4)를 만들면, 치역의 끝점이 흔들릴 때 출력값에서 가능한 입력을 역으로 찾는 습관까지 이어진다.