계산동 초등수학과외

색 종류와 점의 전체 개수를 구분하는 문제

교육용 예시로, 4행 6열로 놓인 점 배열을 생각해 보겠습니다. 점은 가로로 4줄, 세로로 6줄이 되도록 일정하게 놓고, 각 열을 서로 다른 색으로 칠합니다. 이때 질문은 “열마다 다른 색을 칠하면 색의 수가 배열에 있는 전체 점의 수일까?”입니다. 다음 활동에서 아이가 색 종류 수를 전체 점의 수라고 생각했다고 가정해 보겠습니다. 색이 6종류이므로 점도 6개라고 말할 수 있지만, 이 답은 주어진 배열의 조건과 맞지 않습니다. 색은 열을 구분하는 표시이고, 각 색의 열 안에는 점이 여러 개 있기 때문입니다.

교사는 먼저 색연필의 종류를 세는 것과 점을 세는 것이 서로 다른 활동임을 짚어 줍니다. 한 색으로 칠해진 열 하나를 가리키며 “이 색의 열에는 점이 몇 개 있지?”라고 묻고, 아이가 점을 하나씩 짚어 세도록 합니다. 한 열에는 4개의 점이 있고, 그런 열이 6개이므로 색의 종류는 6, 전체 점의 수는 24가 됩니다. 아이가 말로 이유를 설명하기 어렵다면 교사는 한 열의 점 네 개를 먼저 옮겨 놓는 시범을 보인 뒤, 다음 열은 아이가 직접 짚거나 표시하게 할 수 있습니다.

한 줄의 수와 줄 수를 곱으로 연결하기

자료를 볼 때는 점의 배열과 수식을 같은 관계로 연결해야 합니다. 한 열에 점이 4개이고 열이 6개이므로 전체는 4+4+4+4+4+4로 나타낼 수 있으며, 이를 4×6=24로 간단히 쓸 수 있습니다. 여기서 6은 색 종류를 세어 얻은 수와 같지만, 식에서는 색 자체가 아니라 점 4개가 들어 있는 열의 수를 나타냅니다. 따라서 “색이 6개라서 점이 6개”가 아니라 “점 4개가 있는 열이 6개라서 점이 24개”라고 해석해야 합니다.

아이는 배열의 행과 열을 손가락으로 따라가며 누락된 점이 없는지 확인하고, 한 열씩 네 점을 묶어 셀 수 있습니다. 배열을 방향만 바꾸어 보거나 구분선을 달리 그어도 같은 점을 한 번씩 포함한다면 전체 점의 수는 변하지 않습니다. 중요한 것은 색을 몇 가지 사용했는지가 아니라, 각 색의 열에 실제로 몇 개의 점이 있고 그런 열이 몇 개 있는지를 확인하는 것입니다. 문제와 점 배열 자료는 그대로 둔 채 해설과 정답만 가리고 다시 놓게 하면, 아이가 4개의 점이 있는 열 6개를 직접 세어 24를 구하는지 살필 수 있습니다.

새 배열에서 달라진 수를 직접 적용하기

이제 새로운 자료로 5행 7열 배열을 제시하고, 이번에도 각 열을 서로 다른 색으로 칠한다고 해 보겠습니다. 기본 문제와 달라진 조건은 한 열의 점이 4개에서 5개로, 열의 수가 6개에서 7개로 바뀐 점입니다. 아이는 먼저 색 종류를 세어 7이라고 확인한 뒤, 한 색의 열에 있는 점 5개를 짚어 봅니다. 이어서 5+5+5+5+5+5+5 또는 5×7=35로 연결하면 색 종류와 전체 점의 수가 다르다는 점을 새 자료에서 다시 확인할 수 있습니다.

교사가 식을 먼저 완성해 주기보다 한 열의 점 수와 열의 수를 각각 표시하게 하고, 아이가 점을 옮기거나 열마다 동그라미를 그린 뒤 35를 구하도록 합니다. 말로 긴 이유를 말하지 못하더라도 5개씩 묶은 표시와 7개의 묶음을 보여 주면 배열과 식의 관계를 확인할 수 있습니다. 답 7만 기억하는지, 아니면 새 배열에서 “한 열 5개가 7열”이라는 근거를 자료로 다시 나타내는지 살펴봅니다.

빠진 점이 있을 때 전체를 조정하기

추가로 4행 6열 배열에서 마지막 줄의 점 하나를 지운 상황을 비교할 수 있습니다. 완전한 배열은 4×6=24이지만, 점 하나가 빠졌으므로 전체는 24-1=23입니다. 이때도 색 종류는 여전히 6일 수 있지만, 점의 전체 개수는 23으로 달라집니다. 아이가 먼저 완전한 배열의 네 점짜리 열 여섯 묶음을 확인한 다음, 빠진 점 하나를 표시하고 24에서 1을 빼도록 합니다. 다음 확인에서는 숫자만 외우는지보다, 조건이 바뀐 자료에서 빠진 점을 찾아 전체 배열의 곱에서 제외하는 행동과 식을 함께 보여 주는지 살핍니다.