감전동 고등수학과외

공통수학1의 복소수와 이차방정식에서 i의 거듭제곱은 지수의 홀수·짝수만 보고 판단하면 쉽게 갈린다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답의 모양보다 먼저 어떤 조건이 빠졌는지 확인한다. 문제는 i²=−1일 때 i²⁰²⁷을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “지수가 홀수이므로 i²⁰²⁷=i”라고 썼을 수 있다. 그러나 홀수라는 정보만으로는 i와 −i를 구분할 수 없다.

홀수라는 조건만으로 충분한지 묻기

먼저 i³과 i⁵가 같은지 직접 비교하게 한다. i³은 −i이고 i⁵는 i이므로 같지 않다. 따라서 오답 하나만 보고 곧바로 원인을 확정하지 않고, 홀수·짝수만으로 값을 구별한다고 생각했는지, 네 번의 주기는 알고도 지수를 잘못 나누었는지 확인한다. 학생은 i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1을 직접 적고, 이후 같은 네 값이 반복되는지 표시한다. 이때 i⁴=1이라는 식은 주기의 근거가 되고, 지수 전체를 4로 나눈 나머지가 실제 값을 결정한다.

지수를 4로 나눈 나머지로 고쳐 쓰기

네 주기를 적은 뒤 2027을 4로 나눈 나머지를 학생이 직접 계산한다. 2027=4·506+3이므로 i²⁰²⁷=i^(4·506+3)=(i⁴)⁵⁰⁶i³이다. 여기서 (i⁴)⁵⁰⁶=1이고 i³=−i이므로 정답은 −i이다. 교사는 근거 한 단계 뒤의 식과 결론을 먼저 말해 주지 않고, 학생이 주기와 나머지를 연결해 완성하게 한다. 같은 문제에서 지수의 표현만 바꾼 것과 조건 자체가 바뀐 것은 구별해야 한다. 이번 문제는 특정 거듭제곱의 값을 묻지만, 다음에는 값이 −1이 되게 하는 지수의 조건을 찾는다.

풀이를 가린 상태에서 조건 찾기

문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 음이 아닌 정수 n에 대해 iⁿ=−1을 만족하는 모든 n을 나타내라는 질문에서, 학생은 i⁰=1, i¹=i, i²=−1, i³=−i를 직접 계산해 네 경우를 비교한다. −1이 되는 나머지는 2이므로 n을 4로 나눈 나머지가 2여야 한다. 따라서 n=4k+2, k는 음이 아닌 정수이다. 실제로 i^(4k+2)=(i⁴)ᵏi²=−1이고 나머지가 0, 1, 3이면 각각 1, i, −i이므로 다른 경우는 제외된다. 교사가 제시한 첫 단계를 지운 뒤에도 학생이 주기를 판단할 식과 이유를 스스로 썼는지 확인하고, 바뀐 조건까지 처리하는지 대조한다. 부호가 다시 헷갈리면 i의 네 값을 적고 켤레복소수와의 곱까지 직접 계산해 −i와 i를 구분한다.