덕포동 고등수학과외

점의 좌표로 밑과 증가·감소를 먼저 결정하기

다음과 같은 문제를 먼저 살펴본다. 지수함수 $y=a^x$가 $(2,\frac19)$을 지나고 $a>0,\ a\ne1$일 때, 밑 $a$와 함수의 증가·감소를 구하는 문제다. 점을 식에 대입하면 $a^2=\frac19$가 된다. 제곱만 보고 $a=\frac13$ 또는 $a=-\frac13$이라고 모두 적었다면, 두 후보가 지수함수의 밑 조건을 만족하는지 따로 확인해야 한다. $a=\frac13$은 양수이고 $0<a<1$이므로 감소함수이며, $(\frac13)^2=\frac19$로 주어진 점도 확인된다. 음의 후보는 일부 실수 지수에서 실수값을 만들지 못하므로 제외된다.

기본 질문으로 밑의 허용 조건을 다시 세우기

이 결론을 외워서 적용했는지 확인하려면 “고등학교에서 다루는 $y=a^x$가 실수 전체에서 정의되는 지수함수일 때 밑 $a$의 조건은 무엇인가?”를 먼저 묻는다. 이렇게 답했다면, $a\ne0$이면 모두 가능하고 $a=-2$도 포함된다고 생각한 셈이다. 곧바로 틀렸다고 하지 않고 “$a=-2$에서 실수 입력 $x=\frac12$의 출력이 실수인가?”를 직접 계산하게 한다. 이어 $a=0$일 때 음의 지수 $0^{-1}$이 정의되는지도 표시하게 한다. 음의 밑은 모든 실수 지수에서 실수값을 만들 수 없고, 밑이 0이면 음의 지수에서 정의되지 않으므로 실수 전체를 정의역으로 하는 지수함수의 밑이 될 수 없다. 따라서 $a>0$이어야 한다.

또 $a=1$을 대입해 $1^x=1$을 확인하게 한다. 이 함수는 모든 입력에서 출력이 1인 상수함수이므로, 밑에 따른 증가·감소를 구분하는 지수함수에서 제외한다. $a>1$이면 지수함수는 증가하고, $0<a<1$이면 감소한다. 다만 도함수가 0이라는 사실만으로 극값을 정하거나, 도함수가 비음수라는 사실만으로 엄격한 증가를 단정하는 식으로 다른 개념을 섞지 않도록 구분한다. 학생이 직접 수정할 줄은 $a>0,\ a\ne1$이고, $1^x$은 항상 1이므로 제외한다고 적는다. 처음의 $a\ne0$을 $a>0,\ a\ne1$로 바꾼 부분에는 밑의 조건을 나타내는 표시를 남긴다.

풀이를 가린 채 조건이 달라진 문제에 다시 적용하기

다시 풀 때는 문제와 좌표 $(2,\frac19)$, 밑 조건 $a>0,\ a\ne1$만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생은 먼저 $a^2=\frac19$를 세운 뒤 양수 후보만 남겨 $a=\frac13$을 얻고, $0<a<1$이므로 감소라고 설명한다. 단순히 같은 문제의 표현만 바꾼 것인지, 조건이 실제로 달라졌는지도 구별한다. 일반 질문에서는 $a>0,\ a\ne1$을 세우는 것이 핵심이고, 한 점을 지나는 문제에서는 그 조건을 사용해 가능한 후보를 걸러야 한다. 마지막으로 $(\frac13)^2=\frac19$을 대입해 점을 검산하고, 두 입력값의 출력 순서도 간단히 비교한다. 예를 들어 $x=1,2$에서 출력이 $\frac13,\frac19$로 작아지는 것을 확인하면 감소라는 결론을 식으로 대조할 수 있다. 답을 기억한 것인지 확인하려면 좌표나 지수를 바꾼 문제에서 먼저 양수 조건과 1 제외를 표시하게 한 뒤 밑과 변화 방향을 다시 결정한다. 이런 점검을 거치며 배움노트 고등수학 수업에서는 오답의 결론을 조건식으로 직접 고치고, 계산과 정의역을 함께 확인하는 풀이를 이어 간다.