광주 고등수학과외

말로는 구분했지만 식에서는 합처럼 계산했다면

벡터의 내적과 각을 다루는 수업에서 차벡터의 길이를 구할 때는 교차항의 부호를 정확히 확인해야 한다. 문제에서 |a|=2, |b|=3, a·b=1일 때 |a−b|를 구하라고 했다면, 이렇게 답했다고 가정해 보자. “차이니까 합과 비슷하게 계산해서 √15입니다.” 이 답은 |a+b|²를 전개했을 때 나오는 2a·b의 부호를 차벡터에도 그대로 적용한 경우다. 다만 오답 하나만으로 내적의 개념을 모른다고 단정할 수는 없다. 먼저 학생에게 “(a−b)의 제곱을 전개할 때 가운데 항의 부호는 무엇인가?”라고 묻고, 말로 답한 내용과 처음 적은 식을 나란히 대조하게 한다.

내적을 네 항으로 전개해 부호를 직접 표시하기

내적은 두 벡터의 성분별 곱을 더한 실수이며, a·b=|a||b|cosθ로도 나타난다. 각 θ를 이 식으로 구할 때는 두 벡터가 모두 영벡터가 아니어야 한다. 이번 문제에서는 각 자체를 구하지 않지만, 내적을 벡터처럼 다루지 않고 실수로 계산해야 한다는 점이 중요하다. 교사는 (a−b)·(a−b)를 기준식으로 보여 준 뒤, 학생이 각 항의 부호를 직접 표시하게 한다. (a−b)·(a−b)=a·a−a·b−b·a+b·b이고, 내적의 교환법칙에 따라 a·b=b·a이므로 |a−b|²=|a|²−2a·b+|b|²이다. 따라서 4−2+9=11이고, 길이는 음수가 될 수 없으므로 |a−b|=√11이다. √15는 합벡터의 제곱에 해당하는 값인지 다시 구분해야 한다. 학생이 직접 계산기를 사용하거나 식에 밑줄을 그어 교차항 두 개를 표시하고, 주어진 a·b=1과 대조하게 한다.

정답을 검산하고 조건을 남긴 채 다시 적용하기

계산 결과 √11이 맞는지는 평행사변형 법칙으로도 확인할 수 있다. |a+b|²+|a−b|²=2|a|²+2|b|²=2·4+2·9=26이고, 합벡터의 제곱 15와 차벡터의 제곱 11을 더해도 26이 된다. 이는 한 수치를 넣어 우연히 확인하는 반례 검산이 아니라, 두 식의 전개에서 교차항이 서로 상쇄되는 일반적 근거다. 이후 문제 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서 |a|=2, |b|=3, a·b=1일 때 |a+b|를 다시 풀게 한다. 이번에는 |a+b|²=|a|²+2a·b+|b|²이므로 4+2+9=15, 따라서 |a+b|=√15이다. 내적 1은 |a||b|=6 이하이므로 가능한 조건이며, 길이는 양의 제곱근을 선택한다. 같은 문제의 합과 차 표현을 구별했는지, 실제 조건이 바뀌었을 때도 교차항 부호를 조정했는지를 확인한다. 마지막으로 학생이 “차에서는 −2a·b가 되는 이유”를 말과 식으로 다시 적게 하고, 다음 문제에서도 (a±b)·(a±b)를 네 항으로 전개한 뒤 두 교차항을 합치는 기준을 스스로 적용하게 한다.