광주남구 고등수학과외

점의 위치만 보고 접선이 반드시 두 개 있을 것이라 생각하면 안 된다. 곡선 y=x²에 점 (0,1)을 주고 그 점을 지나는 접선을 찾는다고 하자. 포물선 위의 접점이 (a,a²)라면 접선은 y=2ax−a²이다. 이 직선에 (0,1)을 대입하면 1=−a²가 되는데, 실수 a에 대해서는 성립할 수 없다. 따라서 이 외부 점 조건에서는 접선이 존재하지 않는다. 이는 접선의 개수가 줄어드는 경계나 불가능을 먼저 확인하는 예시다.

제안한 직선이 접선인지 조건부터 대조하기

이렇게 답했다면, 즉 y=±2x+1이라고 했다면 먼저 두 직선이 (0,1)을 지나는지는 맞는지 확인할 수 있다. 그러나 점을 지난다는 사실만으로 접선이 되는 것은 아니다. y=2ax−a²에서 기울기 2a는 도함수 f′(a)의 값이고, (a,a²)는 그 기울기가 적용되는 접점이다. 접점과 기울기를 따로 정하지 않은 채 기울기만 골라 절편을 1로 두면 접선의 기본 조건을 빠뜨리게 된다. 실제로 x²=2x+1을 연립하면 (x−1)²=2가 되고, x²=−2x+1을 연립하면 (x+1)²=2가 된다. 둘 다 중근이 아니므로 제안한 직선은 포물선에 접하지 않는다.

확인 질문으로 원인을 나누고 직접 수정하기

오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 접점의 좌표와 기울기를 혼동했는지 또는 주어진 점 조건을 빠뜨렸는지 나누어 확인한다. “접선 y=2ax−a²의 y절편은 양수가 될 수 있는가?”라고 묻고, 학생이 y절편을 −a²로 표시한 뒤 −a²≤0임을 적게 한다. 이어 접점 (a,a²), 기울기 2a, 외부 점 (0,1)을 차례로 대조한다. 외부 점을 대입해 1=−a²를 세우면 실수해가 없으므로 학생은 “실수 a에서 불가능하므로 그런 접선은 없다”라고 수정할 수 있다. 이 결론은 한 수치의 반례가 아니라 접선의 일반식과 실수 제곱의 성질에 근거한다.

조건을 남긴 채 다른 위치에 다시 적용하기

문제와 조건, 필요한 식만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 점 (0,−1)을 지나는 y=x²의 모든 접선을 다시 시작한다. 접점 (a,a²)의 접선 y=2ax−a²에 점을 대입하면 −1=−a², 따라서 a=±1이다. 그러므로 접선은 y=2x−1, y=−2x−1이다. 각각 (0,−1)을 지나며, 곡선과 연립하면 (x−1)²=0, (x+1)²=0이 되어 중근 조건도 확인된다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이후 수정 전후의 풀이 순서를 섞어 제시하고, 외부 점의 위치에 따라 ‘없음’과 ‘두 개’를 고르게 한다. 절편을 빠뜨린 식은 접점을 대입해 실제로 그 점을 지나는지, 연립식이 중근인지 직접 대조하게 한다.