광주서구 고등수학과외

답을 가린 재시도에서 학생이 먼저 마주한 질문은 “−(x−1)²은 0보다 큰가 작은가?”였다. 문제는 f(x)=−(x−1)²+4, −1≤x≤2일 때 최솟값을 구하는 것이었다. 앞서 꼭짓점의 y좌표 4를 최솟값이라고 답했다면, 이번에는 풀이와 정답을 보지 않고 식의 부호와 허용된 x의 범위를 직접 표시해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 외웠는지보다 조건을 읽고 후보를 가려내는 과정을 확인한다.

꼭짓점의 값과 구간의 끝점을 분리해 보기

f(x)=−(x−1)²+4는 이미 완전제곱식으로 나타나므로 꼭짓점은 (1, 4)이다. 다만 이 포물선은 아래로 열려서 꼭짓점의 4는 최댓값 쪽에 해당한다. 또 x=1은 −1≤x≤2에 포함되므로 꼭짓점 자체는 허용된 후보지만, 최솟값을 결정하려면 양 끝점도 계산해야 한다. 꼭짓점만 보고 답을 정하면 ‘구하려는 극값’과 ‘정의역 안의 위치’를 확인하지 않은 셈이다.

오답의 원인을 질문과 계산으로 나누어 확인하기

“꼭짓점의 4를 최솟값으로 골랐니, 아니면 끝점 계산에서 막혔니?”라고 먼저 묻는다. 이어 “−(x−1)²은 0보다 큰가 작은가?”를 설명하게 한다. 제곱은 항상 0 이상이므로 −(x−1)²은 0 이하이고, 따라서 f(x)는 4 이하이다. 이것만으로 최솟값이 정해지는 것은 아니므로 학생이 수직선에 −1, 1, 2를 표시하고 양 끝점까지 계산하게 한다. f(−1)=−(−2)²+4=0, f(2)=−1²+4=3이므로 두 후보 중 작은 값은 0이다.

원래 조건과 대조한 뒤 달라진 문제에 적용하기

학생이 직접 세운 수정 풀이는 “f(−1)=0, f(2)=3이므로 최솟값은 0”이다. 일반적인 확인도 가능하다. −1≤x≤2이면 |x−1|≤2이고, (x−1)²≤4이므로 −(x−1)²+4≥0이다. x=−1에서 |x−1|=2가 되어 실제로 0이 달성되므로 최솟값은 0, 그때 x=−1이다. 이후 풀이와 정답을 다시 가린 채 f(x)=x²−4x+1, 0≤x≤5의 최댓값을 처음부터 세우게 한다. 꼭짓점은 (2, −3)이고 포물선은 위로 열리므로 꼭짓점은 최솟값 쪽이다. 끝점 f(0)=1, f(5)=6을 비교하면 최댓값은 6, x=5이다. 또한 |x−2|≤3이므로 f(x)=(x−2)²−3≤6이고, x=5에서 등호가 성립한다. 표현만 바뀐 것인지 조건과 극값의 종류가 바뀐 것인지 구별하는 것이 다음 점검의 핵심이다.

마지막 재시도에서는 문제와 정의역만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생은 먼저 꼭짓점과 구간을 한 수직선에 놓고, 포물선의 방향과 구할 값을 말한 뒤 끝점의 함숫값을 계산한다. 기본 답을 기억해 맞힌 경우와 달라진 조건에도 근거를 세워 적용한 경우를 구분하면, 다음에는 꼭짓점을 무조건 답으로 고르는 실수를 스스로 멈출 수 있다.