구지 고등수학과외

답과 풀이를 가린 채 다음과 같이 다시 시작한다. $\int_0^1 xe^x\,dx$를 구할 때, 아래끝 $x=0$의 값은 0인가 $-1$인가? 이 질문에 바로 숫자를 쓰기보다 부분적분으로 얻은 원시함수에 $x=0$을 대입해 근거를 말해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 한 번의 오답만으로 개념을 단정하지 않고, 학생이 식의 의미와 조건을 직접 표시하고 대조하도록 한다.

두 끝값을 빠뜨린 풀이를 다시 읽기

부분적분은 곱의 미분을 거꾸로 사용하는 방법이다. $u=x,\;dv=e^x dx$로 두면 $du=dx,\;v=e^x$이므로 $\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx=(x-1)e^x+C$이다. 정적분에서는 적분상수 $C$를 붙이는 부정적분과 달리, 원시함수의 위끝값과 아래끝값의 차를 계산한다. 따라서 $\int_0^1 xe^x dx=[(x-1)e^x]_0^1$로 써야 한다.

이렇게 답했다면 “위끝 $x=1$에서의 값만 사용한 이유는 무엇인가?”, “아래끝 $x=0$을 대입하면 $0$인가 $-1$인가?”라고 확인한다. 위끝에서는 $(1-1)e^1=0$, 아래끝에서는 $(0-1)e^0=-1$이므로 두 값의 차는 $0-(-1)=1$이다. 아래끝을 단순히 $x=0$이라는 숫자로만 보아 함수값을 0으로 처리했는지, 원시함수와 정적분을 구별하지 못했는지를 학생의 설명에서 나누어 살핀다.

식의 조건과 값이 서로 맞는지 대조하기

치환적분을 떠올렸다면 미분 인자와 새 변수의 구간을 함께 바꾸어야 하지만, 이 문제는 $u=x,\;dv=e^x dx$로 처리하는 부분적분 문제다. 그러므로 방법을 섞어 쓰기보다 선택한 식이 원래 적분과 동치인지 확인한다. $xe^x$는 $[0,1]$에서 음이 아니고 $0<x\le1$인 내부에서는 양수이므로 적분값은 0이 될 수 없다. 이는 한 점의 대입이 아니라 구간 전체의 부호에 근거한 확인이다.

학생이 직접 계산한 $0-(-1)=1$을 원래 식과 다시 연결한 뒤, $(x-1)e^x$를 미분해 $e^x+(x-1)e^x=xe^x$가 되는지도 확인한다. 이렇게 하면 끝값 계산의 오류와 원시함수 자체를 잘못 구한 경우를 구별할 수 있다.

표현이 달라진 문제에서 개념을 재적용하기

이제 문제와 조건만 남긴다. $\int xe^x dx\;(x\in\mathbb R)$를 구하되 풀이와 정답은 가린 상태에서 시작한다. 앞 문제와 적분함수의 형태는 같지만, 이번에는 구간이 없는 부정적분이라는 조건이 달라졌다. 학생은 $u=x,\;dv=e^x dx$를 정하고 $uv-\int vdu$를 적용해 $xe^x-\int e^x dx=(x-1)e^x+C$를 스스로 전개한다. 정의역은 $x\in\mathbb R$, 적분상수는 $C\in\mathbb R$임을 함께 남긴다.

마지막으로 미분하여 $e^x+(x-1)e^x=xe^x$인지 대조한다. 정적분의 답 $1$과 부정적분의 답 $(x-1)e^x+C$를 같은 방식으로 읽지 않는 것이 핵심이다. 설명을 덮은 상태에서 처음 오답을 고치고, 아래끝의 함수값을 $-1$로 말하며 새 문제의 적분상수와 미분 검산까지 맞혔다면 다음 학습으로 넘어간다. 의심이 남으면 원시함수를 다시 미분하고, 정적분은 두 끝값과 구간에서의 부호를 추가로 확인한다.