테크노폴리스 고등수학과외

지수함수의 그래프에서 끝점처럼 보이는 값이 실제 최솟값인지 먼저 따져 보자. 예를 들어 f(x)=3ˣ에서 0<x≤1일 때 f(0)=1, f(1)=3이라고 답했다면 최댓값은 맞지만 최솟값 판단에는 문제가 있다. x=0은 주어진 정의역에 포함되지 않으므로 f(0)=1은 이 문제에서 실제로 얻을 수 있는 함숫값이 아니다. 이 경계값은 치역에 가까워지는 값일 수는 있어도, 곧바로 최솟값이라고 부를 수는 없다.

입력값과 밑의 위치부터 확인하는 기본 문제

먼저 “입력 0은 정의역 안에 있는가?”라고 묻고, 문제의 조건 0<x≤1을 직접 표시한다. 이어 3은 1보다 큰 밑이므로 3ˣ가 증가함수라는 사실을 확인한다. 밑이 0과 1 사이이면 감소하고, 지수함수의 출력은 항상 양수라는 비교 자료를 함께 놓되, 계산 결과와 그 결과가 조건을 만족하는지는 학생이 나누어 적게 한다. 이렇게 하면 오답의 원인이 증가·감소를 몰라서인지, 열린 정의역의 끝을 닫힌 끝처럼 처리해서인지 구별할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 한 번의 오답으로 원인을 단정하지 않고, 입력 가능 여부와 그래프의 방향을 각각 확인하게 한다.

값의 범위와 달성 여부를 연결해 수정하기

학생은 f(x)의 범위를 (1,3]으로 정리할 수 있다. x=1은 허용되므로 f(1)=3은 실제로 달성되어 최댓값 3이 된다. 반면 1은 x=0에서만 나오지만 x=0은 허용되지 않는다. 더 확실히 확인하려면 임의의 허용된 x에 대해 x/2를 생각한다. x/2 역시 0<x/2≤1이고, 3ˣ가 증가하므로 3^(x/2)<3ˣ이다. 따라서 어떤 허용된 입력에서도 더 작은 함숫값을 만들 수 있어 최솟값은 없다. 여기서 “1에 가까워진다”는 설명과 “1이 실제 최솟값이다”라는 주장을 구분해야 한다. 결론은 최댓값 3, 최솟값 없음이다.

표현이 바뀌어도 조건을 남긴 재적용

같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 그래프의 반사와 평행이동이 포함된 식으로 비교한다. 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 자료에서 f(x)=−2ˣ+3, x∈R의 치역과 증가·감소를 판단하게 한다. 학생은 먼저 2ˣ가 양수이고 증가한다는 사실에 −1을 곱하면 감소로 바뀐다고 표시한 뒤, 3을 더해 f(x)<3임을 적는다. 따라서 치역은 (−∞,3), 함수는 감소이다. 임의의 y<3에 대해 2ˣ=3−y>0이므로 해당 입력을 찾을 수 있어 범위도 빠짐없이 확인된다. 다음 점검에서는 풀이 순서를 가린 채 문제 자료와 이 검산 방법만 제시한다. 학생이 열린 끝을 제외하고 허용된 끝은 포함하는지, 최대·최소를 말하기 전에 밑의 위치와 정의역을 함께 확인하는지 살핀다.