화원읍 고등수학과외

부분적분 문제에서 예시 오답과 검산 결과를 나란히 놓으면 풀이가 멈춘 지점을 분명히 볼 수 있다. 다음 적분을 생각해 보자. $x\in\mathbb R$에서 $\int xe^x\,dx$를 구하는 문제에 이렇게 답했다면, $xe^x+C$가 왜 맞지 않는지 먼저 확인해야 한다. 답을 바로 고치기보다 “$xe^x$의 도함수에 어떤 추가 항이 생기는가?”라고 묻고, 학생이 직접 미분하여 식을 표시하게 한다.

$xe^x$를 미분하면 곱의 미분법에 따라 $e^x+xe^x=(x+1)e^x$가 된다. 따라서 원래 적분하려던 $xe^x$보다 $e^x$만큼 큰 식을 미분한 셈이다. 이 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않고, 치환적분에서 미분 인자와 새 변수의 구간을 함께 바꾸는지, 부정적분과 정적분을 구별하는지, 정의역과 적분 구간을 빠뜨리지 않았는지 확인 질문을 이어 간다. 이번 문제는 $x\in\mathbb R$에서의 부정적분이므로 적분상수도 필요하다.

곱의 미분을 거꾸로 사용해 남는 적분 보기

교사는 치환적분과 부분적분의 차이를 식으로 비교한다. 치환적분은 미분 인자와 새 변수의 구간을 함께 바꾸지만, 부분적분은 곱의 미분을 역으로 사용한다. $u=x,\;dv=e^x dx$로 정하면 $du=dx,\;v=e^x$이고, $\int u\,dv=uv-\int v\,du$에 따라 $xe^x-\int e^x dx$가 남는다. 여기서 풀이를 대신 끝내지 않고 학생이 조건을 반영해 다음 줄을 직접 잇게 한다.

학생이 계산하면 $xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$이다. 이때 $C\in\mathbb R$이며, $x$의 모든 실수값에서 식이 정의된다. 처음의 $xe^x+C$와 수정한 식은 겉모양만 다른 것이 아니라 미분했을 때 추가 항의 유무가 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 차이를 암기보다 직접 미분하고 원래 피적분함수와 대조하는 행동으로 확인한다.

정답을 미분해 추가 항이 사라지는지 확인하기

$(x-1)e^x+C$를 미분하면 $e^x+(x-1)e^x=xe^x$가 된다. 두 항을 합쳤을 때 추가된 $e^x$와 빠져 있던 $-e^x$가 상쇄되므로 원래 함수가 정확히 복원된다. 특정 수를 대입한 결과는 보조적인 부분 검산일 뿐이고, 이 문제의 정당성은 곱의 미분법을 모든 $x\in\mathbb R$에 적용해 확인하는 데 있다.

같은 원리를 유지하되 조건이 달라지는 경우도 구별한다. $\int_0^1 xe^x\,dx$에서는 원시함수의 적분상수를 따로 쓰지 않고 양 끝값의 차를 계산한다. $[(x-1)e^x]_0^1=0-(-1)=1$이므로 정답은 $1$이다. 적분함수 $xe^x$는 $[0,1]$에서 음이 아니며 내부에서 양수이므로 적분값이 $0$이라는 판단은 조건과 맞지 않는다.

가린 풀이에서 다시 계산하고 다음 점검으로 잇기

다시 확인할 때는 문제 $\int xe^x dx,\;x\in\mathbb R$와 필요한 식 $uv-\int vdu$만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 부분적분을 적용해 남는 적분을 적고, 적분상수 $C\in\mathbb R$를 표시한 뒤 결과를 직접 미분해 $xe^x$와 대조한다. 이어 $\int_0^1xe^x\,dx$에서는 양 끝값을 각각 계산하고 부호와 구간을 확인한다.

표현만 바꾼 같은 문제인지, 적분 구간이 추가된 실제 조건 변경인지도 말로 구분하게 한다. 결과가 의심되면 부정적분은 원시함수를 미분하고, 정적분은 양 끝값의 차와 구간에서의 부호를 다시 확인한다. 이렇게 계산 결과와 성립 조건을 각각 적어 보게 하면 부분적분에서 남는 적분을 처리하는 방법이 다음 문제에도 독립적으로 이어진다.