임학동 고등수학과외

고등수학에서 신뢰구간을 다룰 때는 숫자를 공식에 넣는 일보다, 그 공식이 허용되는 조건과 구간이 가리키는 대상을 먼저 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 조건 하나가 달라졌을 때 결론이 어떻게 달라지는지, 기본 계산과 해석을 나란히 놓고 살핀다. 예를 들어 정규모집단의 모표준편차가 σ=10으로 알려져 있고, 독립 임의표본의 크기가 100, 표본평균이 50이라면 95% 신뢰구간은 x̄±1.96σ/√n으로 계산한다.

50±1.96·10이 왜 잘못되었는지 확인하기

이렇게 답했다면 [30.4, 69.6]이라는 결과가 나온다. 그러나 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 먼저 “이 구간은 개인 값의 변동인가, 표본평균의 변동을 사용하는가?”라고 묻는다. 표본평균은 표본마다 달라지므로 그 변동의 크기는 모표준편차 σ 자체가 아니라 σ/√n이다. 따라서 표본평균의 표준편차는 10/√100=1이며, 표본 크기 100은 계산에서 빠지는 수가 아니다. 학생은 주어진 값 옆에 모집단의 표준편차, 표본 크기, 표본평균을 직접 표시하고, 자신이 어느 값을 그대로 사용했는지 식과 대조한다. 이 과정에서 표본 요약값을 모집단의 확정값으로 읽었는지, 독립 임의추출이라는 조건을 놓쳤는지도 함께 확인한다.

표본평균의 변동을 넣어 수정하고 검산하기

학생이 중간 결과를 직접 계산한 뒤 식을 50±1.96·10/√100으로 고치면 50±1.96이 된다. 그러므로 구간은 [48.04, 51.96]이다. 중심이 표본평균 50이고 반폭이 1.96인지, 아래 끝과 위 끝의 순서가 맞는지 확인하면 계산을 부분 검산할 수 있다. 다만 이 수치 하나가 모든 상황에서 성립하는 것은 아니다. 모표준편차 σ를 알고 있고, 정규모집단에서 독립 임의표본을 추출했다는 조건이 있어야 이 공식을 사용할 수 있다. 마지막 판단은 교사가 대신 말하지 않고 학생이 “알려진 σ와 표본평균의 표준편차를 사용하므로 이 구간을 얻는다”라고 문장으로 정리하게 한다.

계산 구간과 반복 절차의 포함률을 구별하기

풀이와 유도 표시를 가린 채 문제, 조건, 필요한 자료만 남겨 다시 시작한다. 이번에는 같은 95% 신뢰구간 절차로 정규모집단에서 독립 임의표본을 반복 추출한다고 하고, “각 구간 안에 모집단 개인 값 95%가 들어간다”는 해석을 판단하게 한다. 여기서 바뀐 것은 계산식이 아니라 질문의 대상이다. 표현만 달라진 경우와 모집단의 형태, σ의 알려짐, 표본 추출 방식처럼 실제 조건이 달라진 경우를 구별해 표시해야 한다. 반복해서 만든 구간들 가운데 약 95%가 고정된 모평균을 포함한다는 것이 신뢰수준의 뜻이며, 개인 관측값의 95%가 특정 구간에 들어간다는 뜻은 아니다. 특정 계산 구간은 모평균을 포함하거나 포함하지 않을 뿐이다. 학생이 오답의 마지막 줄을 비워 둔 채 “반복한 구간 절차의 포함률을 뜻하며 개인 값의 비율이 아니다”라고 바른 결론과 이유를 채우게 한다. 다음에는 모집단, 실제 표본, 알려진 모수, 추정할 모수를 먼저 표시하는지 확인한다.