계산동 고등수학과외

“기호 0−는 어느 쪽 입력만 보는가?”라는 질문에 이렇게 답했다면, 먼저 처음 쓴 식과 답변을 나란히 대조해 본다. 0−는 x가 0보다 작은 쪽에서 0으로 가까워진다는 뜻이다. 따라서 오른쪽이나 x=0에서의 값이 아니라, 음수인 입력에서 함수가 어떤 값을 내는지 살펴야 한다.

전체 극한과 좌극한을 구별하는 첫 질문

배움노트 고등수학 수업에서 다음 함수를 예로 든다. f(x)=−1 (x<0), f(x)=1 (x≥0)일 때 lim(x→0−)f(x)를 구하는 문제다. “전체 극한이 없으니 좌극한도 없다”라고 답했다면, 전체 극한과 한쪽 극한을 같은 판단으로 처리한 셈이다. 전체 극한은 양쪽에서 다가오는 값을 비교하지만, 좌극한은 왼쪽 입력만 따로 본다.

이때 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. “0−의 −는 어느 쪽을 뜻하는가?”, “x=0에서의 함숫값을 보고 있는가, 0에 가까운 입력의 함숫값을 보고 있는가?”, “왼쪽과 오른쪽의 값을 각각 적어 보았는가?”라고 확인한다. 학생이 처음 쓴 식에 x<0과 x≥0이 표시되어 있는지도 직접 확인하게 한다.

음수 구간의 식을 따라 직접 계산하기

교사는 극한이 그 점 자체의 값보다 가까이 가는 입력들의 출력을 본다는 기준을 설명한다. 이 문제에서 x→0−이면 x는 0보다 작은 값들만 취한다. x<0인 구간에서는 f(x)가 항상 −1이므로, 음수 근방에서 함수값은 계속 −1이다. x=0일 때 f(0)=1이라는 사실은 이번 좌극한의 판단 자료가 아니다.

학생은 교사의 결론을 받아 적는 대신 “왼쪽에서 접근하므로 x<0 부분을 사용한다. 그 구간의 함수값은 −1이다. 따라서 좌극한은 −1이다”라고 직접 풀이를 이어 쓴다. 답은 −1이다. 오른쪽 값 1을 함께 적는 것은 전체 극한을 판단할 때 필요하지만, 이번 한쪽 극한의 값을 바꾸지는 않는다. 함수의 식을 구간별로 읽고 정의역 조건을 표시했는지가 중요한 검산 근거가 된다.

조건을 가린 재시도와 양쪽 극한의 비교

다시 풀 때는 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생이 “0−가 뜻하는 방향은 무엇인가?”라는 확인 질문만 보고 필요한 식을 처음부터 세우게 한다. 이어서 같은 함수 f(x)=−1 (x<0), f(x)=1 (x≥0)에 대해 lim(x→0)f(x)가 존재하는지 판단한다.

이번에는 좌극한과 우극한을 각각 적는다. 왼쪽에서는 −1, 오른쪽에서는 1로 접근한다. 두 값이 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다. 한쪽 극한이 −1이라는 사실만으로 전체 극한을 −1이라고 할 수 없고, 두 수평 구간의 값을 모두 대조해야 한다.

표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 바뀐 문제인지도 구분한다. 숫자나 구간 조건이 달라졌다면 외운 답을 옮기지 말고, 접근 방향과 해당 구간의 식을 다시 표시한다. 대입으로 끝내지 않고 x=0의 함수값과 0에 가까이 갈 때의 값을 따로 적으면, 함숫값과 극한을 혼동했는지 다음 풀이에서 확인할 수 있다.