병방동 고등수학과외

“(a−1)x=a−1에서 양변을 a−1로 나누면 모든 a에서 x=1이다”라고 답했다면, 식을 간단히 만든 과정과 그 과정이 항상 가능한지는 따로 확인해야 한다. 이 예시의 검산 결과가 모든 a에서 x=1이라는 결론과 어긋나는 지점은 a=1일 때 드러난다. a=1을 원래 식에 대입하면 0·x=0, 즉 0=0이 되므로 특정한 하나의 값만 해가 되는 것이 아니라 모든 실수가 해가 된다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 계산 결과만 맞춰 보지 않고, 나눗셈으로 해를 찾는 변형과 모든 값에 대해 성립하는 등식을 구분하게 한다.

나누기 전에 계수가 0이 되는 조건 찾기

먼저 a−1을 0으로 만드는 매개변수는 무엇인지 직접 표시한다. a−1=0이면 a=1이고, 이때 원래 방정식은 0=0이다. 따라서 x에 제한이 없으며 해는 모든 실수이다. 반대로 a≠1이면 a−1은 0이 아니므로 양변을 a−1로 나눌 수 있다. 이 경우 x=1을 얻는다. 중요한 것은 a≠1이라는 조건을 남긴 채 변형해야 한다는 점이다. 0이 될 수 있는 식을 아무 조건 없이 나누면 특정 경우를 삭제할 수 있으므로, 약분이나 나눗셈 앞에서 그 식의 영이 되는 경우를 먼저 분리한다.

수정한 풀이를 원식에 되넣어 구분하기

학생이 직접 풀이를 다시 쓰면 다음과 같다. a=1이면 0=0이므로 x는 모든 실수이고, a≠1이면 x=1이다. 이제 각각을 원래 식에 대입한다. a=1에서 어떤 실수 x를 넣어도 0·x=0이므로 등식이 성립한다. a≠1에서 x=1을 넣으면 왼쪽과 오른쪽이 모두 a−1이 되어 성립한다. 이 대조를 통해 ‘x=1이라는 하나의 해’와 ‘모든 실수에 대해 참인 항등식’을 구별할 수 있다. 단순히 예시 숫자를 대입해 맞는지 보는 것은 일부 확인일 뿐이며, 모든 a에 대한 결론은 a=1과 a≠1을 나눈 일반적인 근거로 설명해야 한다.

조건을 남긴 채 다른 식에 다시 적용하기

이제 문제와 조건, 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 실수 x에 대한 x²=3x를 다시 시작한다. 학생은 먼저 양변을 한쪽으로 모아 x²−3x=0을 만들고, x(x−3)=0으로 인수분해한다. 여기서는 매개변수 때문에 계수가 0이 되는 상황이 아니라, 미지수 x 자체가 0일 수 있으므로 x=0을 나누어 없애지 않아야 한다. 영인수법칙에 따라 x=0 또는 x−3=0이므로 x=0, 3이다. 두 값을 원식에 각각 대입해 0²=3·0, 3²=3·3을 확인하고, 인수분해된 곱이 0이 되는 경우가 두 가지뿐인지 대조한다. 이후 풀이 순서를 다시 보이지 않은 채 같은 조건에서 계산과 검산 결과가 일치하는지 확인한다. 빠진 해가 의심되면 약분 전후에 x=0처럼 제외될 수 있는 후보를 다시 표시한다. 표현만 바꾼 식인지, 실제 조건이 달라진 식인지도 구별하면서 일반식이 항등식이 되는 경우까지 포함해 풀이를 완성한다.