전주 고등수학과외

계산이 “P가 A에서 B쪽으로 전체의 몇 분의 몇 이동하는가?”에서 멈췄다면, 공식 암기와 조건 적용을 나누어 확인할 필요가 있습니다. 2022 개정 진로 선택 기하의 벡터의 연산에서 위치벡터 OA=a, OB=b인 두 점 A, B가 있고, AP:PB=1:2로 내분하는 점 P의 위치벡터를 구한다고 해 보겠습니다. 이때 먼저 P가 A에서 B 방향으로 전체의 1/3만큼 이동한다는 조건을 말이나 그림으로 표시하게 합니다.

계수를 정하기 전에 가까운 끝점을 표시하기

이렇게 답했다면 OP=(a+2b)/3이라고 적은 셈입니다. 식만 보고 곧바로 개념을 모른다고 판단하지 않고, “P는 A와 B 중 어느 점에 더 가까운가?”, “A에서 B 쪽으로 전체의 몇 분의 몇 이동하는가?”라고 묻습니다. AP:PB=1:2이므로 P는 A에서 가까운 위치에 있어야 합니다. 후보 식의 계수에서 a가 1, b가 2로 배치되면 B 쪽의 영향이 더 커지는 것처럼 보이므로, 실제 이동 관계와 맞는지 직접 대조해야 합니다. 내분 비와 위치벡터의 계수를 뒤집은 것인지, 공식을 알고도 가까운 끝점을 연결하지 못한 것인지 설명을 들어 구분합니다.

AP:PB=m:n일 때 OP=(n·OA+m·OB)/(m+n)입니다. 여기서 m,n은 양수이며, 단순히 숫자를 끼워 넣기보다 위치에서 출발합니다. A에서 B까지의 벡터는 b−a이고, P는 A에서 그중 1/3만큼 이동하므로 OP=a+(b−a)/3입니다. 정리하면 OP=(2a+b)/3입니다. 이 과정은 공식을 외우는 방법과 달리, 어느 끝점에 가까운지를 식의 계수와 함께 확인하게 해 줍니다.

학생이 수정한 식을 거리 비로 확인하기

학생이 직접 OP=(2a+b)/3이라고 고쳐 썼다면, 그 식을 정답이라고 표시하기 전에 원래 조건으로 돌아가게 합니다. OP−OA=(b−a)/3이므로 AP는 (b−a)/3이고, OB−OP=2(b−a)/3이므로 PB는 2(b−a)/3입니다. 따라서 두 벡터의 방향은 같은 직선 위에 있고 길이는 각각 전체의 1/3, 2/3이 되어 AP:PB=1:2를 만족합니다. 특정 숫자를 대입해 우연히 맞는지 보는 것이 아니라, 벡터의 차와 계수로 전체 조건이 성립함을 확인하는 방식입니다. 반대로 후보 식에서 계산한 AP와 PB의 길이 비가 2:1로 나온다면 계수가 뒤집힌 것이므로, 식을 다시 선택해야 합니다.

이 확인을 마친 뒤에는 문제의 표현만 바꾼 것과 실제 조건을 바꾼 것을 구분합니다. 서로 다른 두 점의 위치벡터가 a,b이고 AP:PB=2:1인 내분점이라면, P는 B에 더 가까워야 합니다. A에서 B까지의 2/3만큼 이동하므로 OP=a+2(b−a)/3=(a+2b)/3입니다. 이때 AP=2(b−a)/3, PB=(b−a)/3이어서 길이의 비는 2:1이고, 더 가까운 끝점은 B입니다.

풀이를 가린 뒤 같은 근거로 다시 적용하기

다음 점검에서는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작합니다. 학생이 먼저 A에서 B까지의 전체 벡터를 쓰고, 비율에 따라 이동량을 표시하는지 살핍니다. 비가 1:2일 때는 A에서 1/3, 비가 2:1일 때는 A에서 2/3이라는 근거를 다시 적게 합니다. 이후 구한 위치벡터로 AP와 PB를 직접 계산해 길이 비를 확인하게 하며, 계수를 뒤집었을 때 어떤 비가 나오는지도 대조합니다. 같은 문제의 숫자나 문장만 바꾼 경우에는 위치벡터의 출발 원리를 유지해야 하고, 실제 내분 비가 바뀐 경우에는 이동량과 가까운 끝점을 함께 조정해야 합니다. 마지막에는 학생이 “계수의 합은 전체를 나누는 수이고, 각 계수는 반대쪽 구간의 비를 따른다”는 확인 근거를 자기 말로 남기게 합니다.