완산구 고등수학과외

사라진 것은 함수값이 아니라 미분 뒤의 입력이었다

“f(x)=x³−3x일 때 f′(−1)을 구하라.” 이 문제를 보고 이렇게 답했다면, f(−1)=2라는 계산 자체가 틀린 것은 아니다. 다만 문제에서 요구한 대상과 계산 과정에서 조건 하나가 사라졌다. 주어진 식은 함수 f(x)이고, 물음은 x=−1에서의 도함수 f′의 함숫값이다. 따라서 먼저 f의 값을 구하는지, f′의 식을 구하는지, 이미 구한 f′에 특정 입력을 넣는지 구별해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답만 보고 원인을 단정하지 않고, “지금 계산한 2는 f(−1)인가, f′(−1)인가?”, “미분한 식을 적은 뒤 −1을 넣었는가?”라고 확인한다.

서로 다른 세 질문을 식으로 나누어 확인하기

학생이 문제의 문장에서 f′의 기호를 놓쳤는지, 아니면 미분 후 대입하는 순서를 놓쳤는지 가르려면 식을 나란히 표시한다. f(x)=0은 함수의 근을 묻는 식이고, f′(x)=0은 기울기가 0인 입력을 찾는 식이며, f′(a)는 도함수에 a를 대입해 얻는 값이다. 이 문제에서는 먼저 f′(x)=3x²−3을 만든다. 여기까지 확인한 뒤에는 교사가 결론을 대신 말하지 않고 “이제 어떤 입력을 넣어야 하는가?”를 묻는다. 학생은 문제에서 지정한 −1을 도함수 식에 직접 표시하고, f′(−1)=3(−1)²−3=3−3=0이라고 수정해 적는다. 원래 함수에 −1을 넣어 얻는 f(−1)=2는 별도의 함수값이며, 도함수의 함숫값인 정답과 바꿔 쓸 수 없다.

검산할 때도 단순히 같은 숫자가 나왔다는 이유로 끝내지 않는다. x=−1 근방에서 차분몫을 세워 보면 상수항은 사라지고 h에 관한 항들이 남으며, h가 0으로 갈 때 그 값이 0으로 가는지 확인할 수 있다. 이는 이 입력에서 도함수값이 0이라는 결론을 뒷받침한다. 다만 도함수가 0이라는 사실만으로 주변의 모든 변화나 극값을 추가로 단정하지 않고, 지금 물은 값만 확인한다.

표현이 바뀐 문제에서도 구할 대상을 먼저 표시하기

다음 점검은 풀이와 정답을 보이지 않은 채 독립적으로 시작한다. 문제와 조건만 남긴다. “f(x)=x²−4일 때 f′(x)=0의 해를 구하라.” 학생은 먼저 구할 대상을 f가 아니라 f′로 표시하고, f′(x)=2x를 적은 뒤 2x=0에서 x=0을 얻어야 한다. f′(2)=4, f′(−2)=−4이므로 주어진 함수의 입력 ±2에서는 도함수값이 0이 아님도 대조할 수 있다. 이 문제는 특정 입력에서 도함수값을 계산하는 앞의 문제와 달리, 도함수값이 0이 되는 입력을 찾는 문제다.

재적용에서는 같은 문제의 기호만 바꾸는 데 그치지 않고, “f(x)=x³−3x에서 f′(a)=0을 만족하는 a를 구하라”처럼 조건을 실제로 바꾼다. 학생은 먼저 f′(x)=3x²−3을 구하고, f′(a)=3a²−3=0을 세워 a의 조건을 찾는다. 이후 수정 전후 풀이를 섞어 제시하면, 함수값에 입력을 대입한 단계와 도함수에 입력을 대입한 단계를 구분해 올바른 순서를 복원하게 한다. 마지막으로 “왜 f가 아니라 f′에 대입했는가?”를 말하게 하여, 다음 문제에서도 구할 식에 표시하고 그 식에만 입력을 넣는 습관이 이어지는지 확인한다.