덕진구 고등수학과외

무리함수의 치역을 구할 때 정답만 맞히고 부호의 근거가 비어 있다면, 다음 문제에서 같은 실수가 반복될 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 먼저 풀이의 한 문장을 살펴보고, 근호의 조건과 함수값의 방향을 학생이 직접 구분하도록 한다. 예를 들어 $f(x)=-\sqrt{x-1}+3\;(x\ge1)$의 치역을 구하는 문제에서 “$\sqrt{}$가 있으니 $y\ge3$”라고 답했다면, 근호가 있다는 사실만으로 출력의 방향까지 정할 수 있는지 확인해야 한다.

근호의 비음성과 앞의 부호를 분리해 읽기

먼저 $x\ge1$은 근호 안 $x-1$이 0 이상이 되기 위한 정의 조건이다. 한편 $\sqrt{x-1}\ge0$이므로 앞에 음수가 붙은 $-\sqrt{x-1}$은 항상 0 이하이다. 따라서 $y=-\sqrt{x-1}+3$은 3보다 클 수 없으며, 확인 질문은 “근호 앞의 −가 출력의 방향을 어떻게 바꾸는가?”가 된다. 이때 양변을 제곱해 식을 정리하려고 서두르면 원식의 부호 조건을 놓칠 수 있다. 제곱은 후보를 늘릴 수 있으므로, 원식의 정의 조건과 양변의 부호를 먼저 비교해야 한다.

학생이 이 비교를 직접 적은 뒤에는 $y\le3$이라고 정리할 수 있다. 여기서 $y=3$은 $x=1$일 때 실제로 얻어진다. 또 $y\le3$인 값을 하나 정하면 $3-y\ge0$이므로 $x=(3-y)^2+1$을 택할 수 있고, 이 값은 $x\ge1$을 만족한다. 원식에 대입하면 $\sqrt{x-1}=3-y$, 따라서 $f(x)=y$가 된다. 그러므로 일부 값만 가능한 것이 아니라 모든 $y\le3$이 실제 출력이며 치역은 $(-\infty,3]$이다.

학생의 수정 풀이와 두 방향의 검산

학생의 수정 풀이에는 “$\sqrt{x-1}\ge0$, 따라서 $-\sqrt{x-1}\le0$, 그러므로 $f(x)\le3$”라는 순서가 드러나야 한다. 이어 $x=1$을 대입해 $f(1)=3$을 확인하고, 임의의 $y\le3$에 대해 $x=(3-y)^2+1$이 허용되는지 적는다. 이렇게 하면 최댓값을 한 번 확인하는 것과 구간 전체가 치역이라는 것을 보이는 일이 구별된다. 단순히 도표나 몇 개의 수치만 대입하는 것으로는 모든 값이 빠짐없이 나온다는 사실을 설명할 수 없다.

이 과정에서 정의역과 치역을 섞어 “$x\ge1$이므로 $y\ge1$”처럼 쓰지 않는지도 함께 확인한다. 입력의 조건은 근호가 정의되는 범위를 정하고, 근호의 값과 앞의 부호는 출력의 범위를 정한다. 두 역할을 한 줄에 섞지 않고 각각 표시하면, 같은 형태의 무리함수에서도 끝점과 부호를 안정적으로 판단할 수 있다.

조건을 유지한 채 부호와 끝점 다시 대조하기

문제와 필요한 수치만 남긴 상태에서 $f(x)=\sqrt{x-1}+3,\;1\le x<5$의 치역을 다시 구한다. 먼저 $0\le x-1<4$이므로 $0\le\sqrt{x-1}<2$이고, 여기에 3을 더해 $3\le f(x)<5$를 얻는다. 따라서 치역은 $[3,5)$이다. $x=1$에서는 3이 달성되지만, $x<5$이므로 $\sqrt{x-1}=2$가 되는 입력은 허용되지 않아 5는 포함되지 않는다.

마지막으로 $y\in[3,5)$를 정하면 $x=(y-3)^2+1$이고 $1\le x<5$이므로 모든 값이 실제로 만들어진다. 앞선 식과 달리 근호 앞의 부호가 양수이고 입력 구간의 오른쪽 끝이 열린 상태이므로 치역의 방향과 끝점이 달라진다. 다음 점검에서는 해설을 보지 않고 부호, 정의역의 끝점, 근호의 최소·최대 출력을 한 쌍씩 표시하게 하여 같은 문제의 표현 변화와 실제 조건 변화를 구별한다.