가경동 수학과외

대표 문제에서 바뀐 조건 찾기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “실수 x에서 x>2이면 x>0의 대우를 써라.” 학생은 “x<0이면 x<2다.”라고 적었습니다. 결론의 순서를 바꾸려 한 점은 보였지만, 두 부등식의 조건을 부정하는 과정에서 등호를 빠뜨렸습니다. 원래 명제의 가정은 x>2이고 결론은 x>0이므로, 대우는 결론과 가정을 각각 부정한 뒤 순서를 바꾸어야 합니다.

교사는 먼저 “x>0이 아닌 경우를 부등식으로 어떻게 나타낼까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 답하지 못하면 수직선에서 0을 포함하는 쪽을 말로 함께 확인한 뒤, x>0의 부정은 x≤0이라고 설명합니다. 이어서 x>2의 부정도 x≤2임을 짚습니다. 따라서 이 문제의 대우는 x≤0이면 x≤2이다가 됩니다.

오답의 원인을 나누어 확인하기

“x<0이면 x<2다.”라는 문장만 보고 학생이 대우의 개념을 전혀 모른다고 단정하지는 않습니다. 학생이 가정과 결론의 순서를 바꾸는 방법은 알고도 부등식의 부정에서 실수했을 수 있고, 대우가 무엇인지 말로는 설명하지만 문제에 적용하는 단계에서 조건을 놓쳤을 수도 있습니다.

그래서 교사는 학생에게 원래 명제의 가정과 결론을 각각 말하게 한 뒤, “결론이 참이 아닌 경우를 모두 포함하려면 0도 포함해야 할까?”라고 확인합니다. 학생이 x<0이라고 답하면 x=0인 경우를 함께 대입해 보게 합니다. x=0은 x>0이 아니지만 x<0도 아니므로, x<0은 결론의 부정 전체를 나타내지 못합니다. 같은 방식으로 x=2를 살펴보면 x>2가 아니지만 x<2도 아니므로, 가정의 부정도 x≤2가 되어야 함을 확인할 수 있습니다.

교사의 설명 뒤 수정 풀이

교사는 종이에 원래 명제를 “가정: x>2, 결론: x>0”으로 나누어 적고, 대우를 만들 때는 먼저 가정과 결론을 부정한 뒤 순서를 바꾼다고 설명합니다. 학생이 한 번에 모든 과정을 이어 가기 어려우면 결론 x>0의 부정인 x≤0을 교사와 함께 만들고, 그다음 가정 x>2의 부정인 x≤2를 학생이 직접 적도록 돕습니다.

학생은 처음 답에서 x<0이라고 쓴 부분을 x≤0으로 고치고, x<2라고 쓴 부분을 x≤2로 고칩니다. 이후 원래 결론의 부정이 앞에 오고 원래 가정의 부정이 뒤에 온다는 점을 문제 조건과 연결해 설명합니다. 최종적으로 “x≤0이면 x≤2이다.”라고 답합니다. 이때 계산을 한 것이 아니라 명제의 조건을 부정한 것이므로, 숫자를 임의로 바꾸는 풀이가 아니라 각 부등식이 뜻하는 범위를 바꾸는 과정이라는 점도 함께 확인합니다.

조건에 대입하는 검산과 새 적용

검산할 때는 풀이를 그대로 반복하지 않고, 원명제의 결론과 가정을 각각 부정했는지 다시 확인합니다. x≤0은 x>0이 아닌 모든 실수를 포함하고, x≤2는 x>2가 아닌 모든 실수를 포함합니다. 따라서 부정한 두 조건의 순서를 바꾼 “x≤0이면 x≤2이다.”가 대우의 형식과 일치합니다. 이후 이 풀이와 답을 가린 상태에서 학생이 처음부터 다시 적게 하고, 막히는 지점이 개념인지 부등식 처리인지에 따라 도움을 조절합니다.

새 문제로 “x>5이면 x>2이다.”의 대우를 써 보게 합니다. 이번에도 결론 x>2의 부정은 x≤2이고, 가정 x>5의 부정은 x≤5이므로 대우는 x≤2이면 x≤5이다입니다. 이전 문제와 숫자만 같게 바꾼 것이 아니라, 각 부등식의 등호 포함 여부까지 정확히 부정해야 한다는 점을 새 조건에서 적용하는 문제입니다.

필요하다면 “정수 x가 12의 배수이면 6의 배수다.”의 역을 비교 자료로 사용할 수 있습니다. 역은 “x가 6의 배수이면 12의 배수다.”인데, x=6은 6의 배수지만 12의 배수가 아니므로 거짓입니다. 이는 대우와 역을 구별하기 위한 별도 확인입니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 답을 가린 뒤 대우를 다시 구성하고, 각 부정에서 등호 포함 여부를 설명하며, 새로운 수치에도 같은 절차를 적용하는지를 확인합니다.