노포동 수학과외

“모든 소수는 홀수”라는 명제와 9라는 오답

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. “모든 소수는 홀수라는 명제의 반례를 제시하라.” 학생이 “9를 고른다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 반례는 아무 숫자나 고르는 것이 아니라, 명제의 가정을 만족하면서 결론을 깨는 대상을 찾아야 합니다. 이 문제에서 가정은 ‘소수’이고 결론은 ‘홀수’입니다. 따라서 먼저 고른 수가 소수인지, 그다음 홀수인지 확인해야 합니다.

9는 홀수이지만 소수는 아닙니다. 9의 양의 약수는 1, 3, 9로 세 개이므로, 1보다 큰 자연수 중 양의 약수가 정확히 두 개인 수라는 소수의 정의를 만족하지 않습니다. 따라서 9는 명제의 가정을 만족하지 않아 반례가 될 수 없습니다. 여기서 어긋난 판단은 ‘홀수인 수’를 찾으면 된다고 생각한 점입니다. 결론과 반대되는 수만 찾는 것이 아니라 가정까지 함께 확인해야 합니다.

가정과 결론을 두 칸으로 나누어 확인하기

교사는 처음부터 학생의 이유를 하나로 단정하지 않고 “9가 소수라고 생각했나요, 아니면 홀수라는 점만 보고 골랐나요?”라고 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하기 어렵다면 9를 소수인지 확인하는 과정과 홀수인지 확인하는 과정을 나누어 함께 살핍니다. 9를 3×3으로 나타내어 약수가 1과 자기 자신만 있는 수가 아니라는 점을 확인하면, 계산 실수인지 정의를 잘못 적용한 것인지 구분하는 데 도움이 됩니다.

그다음 문제의 조건을 두 칸으로 적습니다. 첫째 칸에는 ‘소수인가?’를, 둘째 칸에는 ‘홀수인가?’를 씁니다. 반례가 되려면 첫째 칸은 예, 둘째 칸은 아니오여야 합니다. ‘모든 소수는 홀수’라는 주장은 소수인 모든 수가 홀수라는 뜻이므로, 소수이면서 짝수인 수가 하나라도 있으면 주장이 깨집니다. 몇 가지 홀수 소수가 있다는 사실만으로 모든 소수가 홀수라고 증명할 수는 없다는 점도 함께 확인합니다.

2를 이용한 수정 풀이와 검산

교사는 반례의 두 조건을 직접 보여 줍니다. 2는 1보다 큰 자연수이고 양의 약수가 1과 2뿐이므로 소수입니다. 동시에 2는 2로 나누어떨어지는 짝수입니다. 따라서 2는 가정을 만족하는 소수이면서 결론인 ‘홀수’를 만족하지 않는 수입니다.

학생은 처음의 “9를 고른다”에서 판단을 바꾸어, 먼저 소수인지 확인한 뒤 결론과 반대되는지를 점검합니다. “2는 소수이고 짝수이므로 ‘모든 소수는 홀수’의 반례다.”라고 답을 완성합니다. 교사가 한 부분을 함께 확인한 뒤에는 학생이 2의 약수와 짝수 여부를 직접 말하고, 왜 반례인지 문장으로 연결해 보게 합니다. 표시만 남기는 데서 끝내지 않고, 가정과 결론을 각각 판정하여 최종 결론까지 구하는 과정입니다.

검산에서는 같은 풀이를 그대로 반복하기보다 원래 명제의 조건에 2를 대입해 확인합니다. 2는 소수라는 가정을 만족하지만 홀수라는 결론은 거짓이므로 명제는 반례 하나로 성립하지 않음이 확인됩니다. 반대로 9는 홀수라는 결론의 반대가 아니며, 소수라는 가정도 만족하지 않으므로 반례 검산에서 탈락합니다. 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 다시 시작하게 하고, 막히는 지점이 정의인지 조건 판정인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단으로 넓히기

새 문제는 “3의 배수는 모두 홀수다”라는 명제의 반례에 필요한 두 조건과 한 예를 찾는 것입니다. 반례는 3의 배수이면서 홀수가 아니어야 합니다. 6은 3×2이므로 3의 배수이고, 2로 나누어떨어지므로 짝수입니다. 따라서 6은 두 조건을 만족하는 반례입니다. 이전 문제와 마찬가지로 ‘가정을 만족하는가’와 ‘결론을 깨는가’를 차례로 확인할 수 있지만, 이번에는 가정이 소수인지가 아니라 3의 배수인지 확인해야 합니다.

추가로 “정방향 명제가 참이면 그 역도 참이다”라는 설명이 항상 맞는지도 비교할 수 있습니다. 정수 x가 16의 배수이면 8의 배수라는 명제는 참입니다. 그러나 그 역인 “x가 8의 배수이면 16의 배수다”는 거짓입니다. x=8은 8의 배수지만 16의 배수는 아니기 때문입니다. 다음 수업에서는 학생이 문제와 조건만 보고 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 가정과 결론을 구분하는지, 반례의 두 조건을 설명하는지, 바뀐 조건에서도 같은 판단 절차를 적절히 적용하는지를 확인합니다.