노포동 고등수학과외

“두 사건의 확률이 다르므로 독립 아님”을 먼저 확인하기

예시 답안에 “두 사건 확률이 다르므로 독립 아님.”이라고 적혀 있다면, 결론보다 판단 기준을 먼저 확인해야 한다. 주어진 값은 P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2이다. 두 사건이 독립인지 판단할 때는 P(A)와 P(B)가 같은지를 비교하는 것이 아니라, 한 사건이 일어났다는 정보가 다른 사건의 확률을 바꾸는지를 확인한다. 따라서 “독립이 되려면 두 사건 자체의 확률이 같아야 하는가?”라고 묻고, 학생이 독립과 배반을 같은 뜻으로 생각하는지도 살핀다. 배반은 두 사건이 동시에 일어날 수 없어 P(A∩B)=0인 경우이고, 독립은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 경우다. 양의 확률을 가진 배반사건은 동시에 일어날 수 없으므로 독립일 수 없다.

두 확률의 곱과 교집합을 직접 대조해 수정하기

교사는 독립의 기준인 P(A∩B)=P(A)P(B)를 제시하고, 계산의 첫 단계까지만 함께 확인한다. P(A)P(B)=0.4×0.5이므로, 이제 학생이 곱을 직접 계산해 교집합 확률 0.2와 대조한다. 학생이 “0.4×0.5=0.2이므로 같으므로 독립이다.”라고 수정해 적었다면, 단순히 답을 바꾼 것이 아니라 기준식에 맞춰 판단했는지 확인할 수 있다. 같은 결론은 조건부확률로도 검산할 수 있다. P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.2/0.4=0.5이고, 이는 P(B)=0.5와 같다. 단, 이 계산은 P(A)>0이라는 조건에서 가능하다. 두 방식이 같은 결과를 보이므로 이 문제의 정답은 독립이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 말의 인상이나 사건 이름만으로 결론을 내리지 않고, 주어진 교집합과 곱의 값을 학생이 직접 표시하며 비교하게 한다.

조건을 남긴 채 표현과 수치를 바꾸어 다시 적용하기

이제 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답을 가린다. P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A|B)=0.6일 때 A와 B가 독립인지 판단하게 한다. 먼저 학생은 독립이면 P(A|B)=P(A)여야 한다는 조건을 적고, 0.6과 0.4를 나란히 놓아 비교한다. P(B)>0이므로 조건부확률이 정의되며, 두 값이 다르므로 A와 B는 독립이 아니다. 이어 P(A∩B)=P(A|B)P(B)=0.6×0.5=0.3을 계산하고, P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2와 대조하면 곱의 기준에서도 독립이 아님을 확인할 수 있다. 처음 문제와 표현만 달라진 경우에는 같은 판정 절차를 유지해야 하고, 조건부확률처럼 실제 자료가 달라진 경우에는 그 자료에 맞는 등식을 다시 세워야 한다. 마지막에는 학생이 “두 사건 자체의 확률이 같아야 독립인 것은 아니다.”라고 설명한 뒤, 교집합 확률과 두 확률의 곱을 스스로 계산하는지 확인한다.