부곡동 수학과외

문자가 두 개라서 다르다고 판단한 이유

다음 문제에서 학생이 a²b²와 (ab)²가 같은지 설명하라는 질문에 “문자가 두 개라 다르다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 문자 개수만 보고 두 식의 모양을 비교한 판단입니다. 하지만 문제에서 확인할 것은 문자 수가 아니라 지수 2가 각 인수에 어떻게 적용되었는지입니다. a²b²는 a를 두 번 곱한 것과 b를 두 번 곱한 것을 곱한 식이고, (ab)²는 ab라는 곱 전체를 두 번 곱한 식입니다. 겉모양은 다르지만 같은 곱셈을 다른 순서로 나타냈는지 살펴봐야 합니다.

오답의 원인을 구분하는 확인

교사는 먼저 “문자가 두 개라서 다르다고 생각한 이유가 무엇인지”를 묻고, 학생이 지수의 뜻을 말로 설명할 수 있는지 확인합니다. 학생이 “제곱은 수에만 붙는 것이라 괄호 안의 곱에는 적용되지 않는다”고 생각했다면 거듭제곱의 의미와 괄호의 역할을 다시 살펴볼 필요가 있습니다. 반대로 제곱이 같은 대상을 두 번 곱한다는 점은 설명하지만 결론만 틀렸다면, 처음 식을 펼치는 과정이나 조건 해석에서 달라진 부분을 확인합니다. 이 문제만으로 계산 실수인지 개념 오해인지 미리 단정하지 않고, a²와 (ab)²를 각각 어떤 곱으로 바꾸는지 직접 말하고 써 보게 합니다.

교사의 설명과 학생의 수정 풀이

교사는 지수 2를 “같은 식을 두 번 곱한다”는 뜻으로 짚습니다. 따라서 a²b²는 (a·a)(b·b)이고, 이를 곱셈 기호를 드러내어 쓰면 a·a·b·b입니다. 한편 (ab)²는 괄호 안의 ab 전체를 두 번 곱하므로 (ab)(ab)=a·b·a·b입니다. 곱셈에서는 인수의 순서를 바꾸어도 곱이 같으므로 a·b·a·b를 a·a·b·b로 다시 배열할 수 있습니다. 그래서 (ab)(ab)=a²b²이고, 두 식은 같습니다.

학생이 이 설명을 한 번에 이해하지 못하면 교사는 먼저 (ab)(ab)를 a·b·a·b까지 함께 풀어 보인 뒤, 이어서 a가 몇 번 등장하고 b가 몇 번 등장하는지 세어 보게 합니다. 학생은 처음의 “문자가 두 개라 다르다”는 판단을 “문자 개수가 아니라 같은 지수 2가 각 인수에 적용되는 방식을 비교해야 한다”로 고칩니다. 이후 a²b²=(a·a)(b·b)=a·a·b·b라고 쓰고, (ab)²=(ab)(ab)=a·b·a·b=a·a·b·b이므로 같다고 결론을 냅니다.

검산과 새 조건에의 적용

이 결과를 분수로 나누어 확인하는 방법은 ab=0인 경우 분모가 0이 될 수 있으므로 적절하지 않습니다. 대신 처음 식을 인수 형태로 다시 펼쳐 인수의 순서만 바꾸어도 같은 결과가 나오는지 확인합니다. 이 방식은 a나 b가 0인 경우에도 사용할 수 있어 문제의 조건을 더 추가하지 않습니다. 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 원래 문제만 보고 다시 해결하게 하고, 같은 설명을 그대로 베끼는지보다 왜 괄호 안의 곱을 두 번 곱하는지 근거를 말할 수 있는지를 확인합니다.

새 적용 문제로 x²y²z²을 하나의 거듭제곱으로 묶어 보겠습니다. 세 인수에 모두 지수 2가 붙어 있으므로 x²y²z²=(xyz)²입니다. 이전 문제와 달리 인수가 세 개지만, (xyz)(xyz)로 펼쳤을 때 x, y, z가 각각 두 번씩 나타난다는 근거는 같습니다. 추가로 2¹⁰+2¹⁰과 2²⁰을 비교하면 앞의 값은 2048, 뒤의 값은 1,048,576이므로 서로 다릅니다. 같은 밑의 지수를 더하는 방식은 같은 밑을 곱할 때 적용되는 성질이지, 덧셈에 그대로 적용되는 규칙은 아닙니다. 다음 수업에서는 새 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 같은 지수의 적용 조건을 스스로 찾아 설명하는지 확인합니다.