부산사직동 수학과외

숫자처럼 곱하면 항상 같다는 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,1]]일 때 AB=BA인가? 두 행렬은 모두 2×2이므로 AB와 BA를 각각 계산할 수 있습니다. 그런데 학생이 “숫자곱처럼 항상 같다.”라고 답했다면, 단순 계산 실수라기보다 행렬 곱에서 곱하는 순서와 행·열의 위치를 숫자의 곱셈과 같은 방식으로 판단했을 가능성을 먼저 살펴볼 수 있습니다.

교사는 곧바로 원인을 하나로 정하지 않고 “A와 B의 어느 성분을 먼저 연결해서 계산했는가?”라고 묻습니다. 학생이 행렬 곱은 설명할 수 있지만 이 문제에서 결과만 틀렸다면, 개념 전체보다 처음 식을 세운 과정과 조건 해석을 다시 확인합니다. 반대로 행과 열을 연결한다는 뜻을 말하기 어렵다면, 한 성분을 함께 계산하며 곱셈의 순서가 바뀌면 사용하는 행과 열도 달라진다는 점을 확인합니다.

행과 열의 위치를 유지하며 다시 계산하기

교사는 먼저 AB의 1행 1열을 짚습니다. A의 1행 [1,2]와 B의 1열 [2,3]을 같은 위치끼리 곱해 더하므로 1×2+2×3=8입니다. 1행 2열은 A의 1행과 B의 2열 [0,1]을 연결해 1×0+2×1=2가 됩니다. 같은 방식으로 A의 2행 [0,1]을 사용하면 AB=[[8,2],[3,1]]을 얻습니다. 각 수는 임의로 곱한 결과가 아니라, 왼쪽 행렬의 한 행과 오른쪽 행렬의 한 열이 만나는 자리의 값입니다.

이제 순서를 바꾼 BA를 계산합니다. 이번에는 B의 행과 A의 열을 연결해야 하므로 앞의 계산을 그대로 옮길 수 없습니다. B의 1행 [2,0]과 A의 1열 [1,0]을 계산하면 2×1+0×0=2, 1행 2열은 [2,0]과 A의 2열 [2,1]을 사용해 2×2+0×1=4입니다. B의 2행 [3,1]까지 계산하면 BA=[[2,4],[3,7]]입니다. 따라서 두 곱은 모두 정의되지만 AB와 BA는 같지 않습니다.

학생은 처음의 “숫자곱처럼 항상 같다.”라는 판단을 고쳐, 순서를 바꾸면 연결되는 행과 열이 달라진다는 조건을 풀이에 반영합니다. 교사가 AB의 첫 번째 성분을 보여 준 뒤에는 나머지 성분을 학생이 직접 계산하게 하고, 계산이 막히면 어느 행과 어느 열을 사용해야 하는지 한 단계씩 다시 짚습니다. 학생은 최종적으로 AB=[[8,2],[3,1]], BA=[[2,4],[3,7]]을 구하고, 같은 자리의 값이 다르므로 AB≠BA라고 결론 내립니다.

첫 성분으로 확인하는 검산

전체 곱셈을 다시 반복하지 않고도 결론을 확인할 수 있습니다. AB의 1행 1열은 8이고 BA의 1행 1열은 2이므로, 두 행렬은 첫 번째 자리부터 다릅니다. 이 값들은 각각 A의 1행과 B의 1열, B의 1행과 A의 1열을 연결해 얻은 결과이므로, 순서가 바뀌면서 사용한 행과 열이 달라졌다는 설명과도 일치합니다. 풀이 순서를 외워 적은 경우에는 학생이 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 두 행렬만 보고 첫 성분부터 다시 계산하게 합니다. 그 과정에서 개념이 필요한지, 계산에서 막히는지에 따라 도움의 양을 조절하고, 다른 풀이도 조건과 계산이 맞으면 인정합니다.

단위행렬에서는 왜 결과가 같은가

앞의 결론을 새 문제에 그대로 넓혀 “행렬도 항상 순서를 바꿀 수 있다.”고 말할 수는 없습니다. 대신 A=[[1,2],[0,1]], I=[[1,0],[0,1]]일 때 AI와 IA를 비교해 봅니다. I는 2×2 단위행렬이므로 A와 곱할 수 있고, AI=IA=A입니다. 단위행렬은 곱셈에서 해당 행렬의 성분을 그대로 보존하는 특별한 역할을 하므로 이 경우에는 순서를 바꾸어도 같은 결과가 나옵니다.

추가로 A=[[1,7],[0,1]], B=[[1,0],[1,1]]을 비교하면 AB=[[8,7],[1,1]], BA=[[1,7],[1,8]]로 서로 다릅니다. 두 곱이 모두 계산된다는 사실과 결과가 같다는 사실은 별개입니다. 다음 확인에서는 학생이 기본 문제의 풀이와 정답을 보지 않고 새 조건에서 행과 열을 정확히 연결하는지, 단위행렬처럼 특별한 조건이 있을 때와 일반적인 두 행렬을 곱할 때를 구분해 설명하는지를 살펴봅니다.