명륜동 수학과외

50°라고 답한 판단에서 놓친 조건

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. AB=AC인 삼각형 ABC에서 ∠B=50°일 때 ∠A를 구하는 문제입니다. 학생이 “∠A도 50°다.”라고 답했다면, 단순한 계산 실수인지 조건을 잘못 읽은 것인지 먼저 풀이 과정을 살펴볼 필요가 있습니다. 이 문제에서 구해야 하는 값은 꼭짓점 A의 각이고, 주어진 50°는 B의 각입니다. 따라서 두 값을 바로 같다고 둘 수 있는지부터 확인해야 합니다.

AB와 AC가 같다는 조건은 두 변의 길이가 같다는 뜻입니다. 이 두 변은 각각 꼭짓점 C와 B의 맞은편에 있으므로, 이등변삼각형의 두 밑각인 ∠B와 ∠C가 같습니다. 즉 ∠B=50°에서 ∠C=50°를 알 수 있습니다. 학생의 처음 답은 주어진 밑각 하나를 꼭짓각과 같은 것으로 처리한 판단에서 어긋났을 가능성이 있습니다. 다만 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 “AB=AC가 각의 크기도 같다는 뜻인가요?”라고 이해했는지, 또는 삼각형의 내각의 합을 사용하려다 계산을 생략했는지를 질문하며 구분합니다.

같은 길이 조건을 각의 관계로 바꾸는 설명

교사는 그림의 겉모양을 보고 두 각을 정하는 것이 아니라, 표시된 같은 길이와 각의 위치를 연결해야 한다고 설명합니다. AB와 AC가 같으므로 그 맞은편 각인 ∠C와 ∠B가 같고, 이미 ∠B=50°이므로 ∠C도 50°입니다. 그다음 삼각형의 세 내각의 합이 180°라는 조건을 이용합니다. 이때 50° 하나만 빼는 것이 아니라, 두 밑각을 모두 빼야 꼭짓각 ∠A가 남습니다.

학생이 바로 설명하기 어렵다면 교사가 먼저 “AB와 AC가 같을 때 서로 마주 보는 두 각은 어느 각인가?”를 짚고, ∠C=50°라는 한 단계를 함께 씁니다. 이어서 학생이 직접 ∠A=180°-50°-50°를 세우도록 합니다. 이 식에서 180°는 삼각형 전체의 내각의 합이고, 두 개의 50°는 각각 ∠B와 ∠C의 크기입니다. 계산하면 ∠A=80°입니다. 학생은 처음의 “50°”라는 답을 “주어진 밑각을 꼭짓각으로 그대로 옮긴 것”이라고 문제 조건과 연결해 고치고, 두 밑각을 먼저 확인한 뒤 답을 구합니다.

조건에 대입해 결과를 확인하는 검산

수정 풀이가 끝나면 같은 식을 반복하기보다, 구한 세 각이 원래 삼각형의 조건을 만족하는지 확인합니다. ∠A=80°, ∠B=50°, ∠C=50°이므로 80°+50°+50°=180°입니다. 또한 AB=AC라는 조건에 따라 밑각 ∠B와 ∠C가 모두 50°로 대응하므로, 같은 길이 조건을 각의 관계로 바꾼 과정도 서로 맞습니다. 학생이 풀이 순서를 따라 쓴 것인지 확인하려면 풀이와 정답을 가리고 문제의 조건만 보인 상태에서 ∠B=50°와 AB=AC를 이용해 다시 시작하게 합니다. 막히면 개념 설명이 필요한지, 180°에서 두 각을 빼는 계산에서 막혔는지에 따라 도움을 조절합니다.

새 각도에서도 꼭짓각과 밑각 구별하기

이제 기본 문제와 다른 적용 문제로, 이등변삼각형의 한 밑각이 72°일 때 꼭짓각을 구해 보겠습니다. 같은 길이 조건이 유지되므로 다른 밑각도 72°입니다. 따라서 꼭짓각은 180°-72°-72°=36°입니다. 앞 문제에서 숫자만 바뀐 것이 아니라, 학생이 한 밑각을 꼭짓각으로 착각하지 않고 두 밑각을 먼저 확인하는지가 핵심입니다.

추가로 밑각 하나가 40°인 이등변삼각형에서 꼭짓각도 40°인지 비교해 볼 수 있습니다. 다른 밑각 역시 40°이므로 꼭짓각은 180°-40°-40°=100°입니다. 이 비교는 ‘같은 각’이 되는 부분이 두 밑각이지 밑각과 꼭짓각이 아니라는 점을 분명히 합니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 수치와 조건을 확인한 뒤 이전 풀이와 정답을 가리고 스스로 식을 세우는지, 각 단계의 근거를 말하거나 적을 수 있는지, 조건이 달라졌을 때도 꼭짓각과 밑각을 구별하는지를 확인하겠습니다.