부산사직동 중등수학과외

한 학생이 공책에 “36=4×9이므로 소인수는 4, 9이다.”라고 적었습니다. 계산 자체는 4×9=36으로 맞았지만, 문제는 36을 소인수분해하고 서로 다른 소인수와 양의 약수의 개수를 구하는 것이었습니다. 부산사직동중등수학과외 수업에서는 정답만 고치지 않고, 학생의 풀이가 어느 판단에서 문제 조건과 달라졌는지 먼저 확인합니다.

4와 9가 소수인지 묻는 짧은 확인

교사는 곧바로 “4의 약수는 무엇이지?”라고 물었습니다. 학생이 1, 2, 4를 말하면 4는 약수가 세 개이므로 소수가 아니며, 1과 자기 자신만 약수로 갖는 수가 아니라는 정의를 확인할 수 있습니다. 이어 “9의 약수는?”이라고 묻고 1, 3, 9를 말하는지도 살핍니다. 학생이 4와 9를 소수라고 답한다면 정의와 실제 풀이 사이의 차이를 확인하고, 합성수라고 답한다면 왜 그 수에서 분해를 멈췄는지를 묻습니다.

이때 오답 하나만으로 학생이 정의를 모른다고 단정하지 않습니다. 질문에 말로 답한 내용과 공책에 남긴 계산 줄을 함께 봅니다. 학생이 “4와 9는 더 나눌 수 있다”고 말하면서도 풀이에서는 멈췄다면, 이번 장면의 판단 지점은 소수와 합성수를 구별하지 못한 것인지, 아니면 분해를 끝까지 이어 쓰지 않은 것인지 나누어 확인해야 합니다.

합성수 인수를 끝까지 분해하는 한 단계

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, “4를 소수의 곱으로 바꾸면 어떻게 될까?”라고 질문한 뒤 4=2×2만 보여 줍니다. 학생은 9에 대해서도 9=3×3을 직접 적습니다. 그러면 처음의 36=4×9는 36=(2×2)×(3×3)으로 바뀌고, 같은 소수끼리 묶어 36=2²×3²라고 정리합니다.

학생은 수정한 줄에서 소인수를 2와 3으로 적고, 양의 약수의 개수를 지수로 계산합니다. 2의 지수는 2, 3의 지수도 2이므로 각 지수에 1을 더해 (2+1)(2+1)=9입니다. 처음 풀이에서는 4와 9를 인수로 남겼지만, 수정 풀이에서는 각 인수를 소수까지 분해하고 소수의 종류와 반복 횟수를 구분했다는 점이 달라졌습니다. 교사는 “왜 지수에 1을 더해 곱했을까?”라고 묻고, 학생이 각 소수의 지수를 0부터 선택할 수 있기 때문이라고 설명하는지 듣습니다.

목록을 직접 세어 수정 풀이를 검산하기

검산은 같은 곱셈을 다시 반복하는 방식으로 끝내지 않습니다. 36의 양의 약수를 작은 수부터 적어 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이 모두 아홉 개인지 세게 합니다. 한편 소인수분해식에 2²와 3²를 대입하면 4×9=36이므로 원래 수와도 일치합니다. 약수 목록의 개수가 9개이고 분해식의 계산 결과가 36이라는 두 근거가 함께 맞아야 최종 답을 확정합니다.

약수 목록에서 원래 수를 찾아보기

이제 방향을 바꾼 문제를 제시합니다. 양의 약수가 1, 2, 4, 8, 16의 다섯 개뿐인 자연수 N을 소인수분해하고 서로 다른 소인수의 개수를 구하는 문제입니다. 이번에는 수에서 약수를 뽑는 것이 아니라, 약수 목록에서 원래 수를 찾아야 합니다. 가장 큰 약수는 N 자신이므로 N=16이고, 16=2⁴입니다. 따라서 서로 다른 소인수는 2 하나입니다.

학생은 2⁴에서 지수 0, 1, 2, 3, 4를 선택해 1, 2, 4, 8, 16이 만들어진다고 확인합니다. 소수의 종류는 하나이고 반복 횟수는 네 번이라는 점은 36의 경우와 다르게 기록합니다. 다음 수업에서는 기존 오답과 수정 풀이를 가린 뒤 36의 조건만 보고, 4와 9를 더 분해해 같은 소수끼리 묶는 과정을 도움 없이 쓰게 합니다. 교사는 학생이 계산뿐 아니라 “합성수 인수는 소수만 남을 때까지 분해해야 한다”는 이유까지 말하는지 확인하고, 막히면 4=2×2와 9를 소수로 분해하라는 단서만 다시 제시합니다.