수안동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. x²+5x+6을 인수분해하라는 문제에 학생이 “(x+1)(x+6)이다”라고 적었습니다. 두 인수의 상수항을 곱하면 1×6=6이므로 마지막 항은 맞아 보입니다. 그러나 인수분해는 상수항 하나만 맞추는 과정이 아닙니다. 분배법칙으로 다시 전개했을 때 원래 식의 모든 항이 일치해야 합니다.

(x+1)(x+6)을 전개하면 x²+6x+x+6=x²+7x+6이 됩니다. 따라서 상수항 6은 같지만 일차항이 7x가 되어 원래 식의 5x와 다릅니다. 이 문제에서는 두 수의 곱이 6이면서 동시에 합이 5여야 한다는 조건을 함께 확인해야 합니다.

오답의 원인을 구분하며 설명하기

교사는 처음부터 학생의 원인을 단정하지 않고 “1과 6을 고른 이유가 상수항 때문인지, 두 수의 합까지 확인했는지”를 묻습니다. 학생이 개념은 말할 수 있지만 답만 틀렸다면, 처음 고른 두 수를 실제로 전개해 보며 어느 항에서 달라졌는지 확인합니다. 반대로 곱셈공식과 분배법칙의 연결이 막힌다면 교사가 (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab가 되는 과정을 한 부분씩 보여 줍니다.

이 식에서 a와 b는 x의 계수와 상수항을 결정하는 수입니다. 따라서 a+b=5, ab=6을 동시에 만족해야 합니다. 2와 3은 2+3=5이고 2×3=6이므로 조건에 맞습니다. 이 방법은 x²의 계수가 1인 이 문제의 형태에서 적용하는 것이며, 모든 이차식을 같은 방식으로 바로 처리할 수 있다는 뜻은 아닙니다.

설명 뒤 학생의 수정 풀이와 검산

교사가 두 조건을 짚은 뒤, 처음 풀이와 정답을 가리고 학생이 대표 문제를 다시 시작한다고 해 보겠습니다. 학생은 먼저 상수항 6을 만드는 두 수를 찾고, 각 조합의 합을 비교합니다. 1과 6은 곱은 6이지만 합이 7이므로 제외하고, 2와 3은 곱과 합이 각각 6과 5이므로 선택합니다.

학생은 “x²+5x+6에서 중간 계수 5까지 맞추려면 2와 3을 써야 하므로 (x+2)(x+3)으로 고친다”고 문제의 조건과 연결해 답을 완성합니다. 이어서 (x+2)(x+3)=x²+3x+2x+6=x²+5x+6으로 전개합니다. 특히 일차항이 3x+2x=5x가 되는지 확인하면, 선택한 두 수의 합이 실제 중간 계수로 나타나는 것을 검산할 수 있습니다. 혼자 다시 시작하지 못한다면 교사는 두 수의 곱을 찾는 단계까지만 함께 하고, 합을 대조하고 인수를 쓰는 단계는 학생이 이어서 시도하게 합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

이제 기본 문제와 구분되는 새 문제로 x²+8x+15를 인수분해하라를 제시합니다. 이번에는 상수항이 15, 일차항의 계수가 8로 바뀌었습니다. 곱이 15이고 합이 8인 두 수는 3과 5이므로 (x+3)(x+5)입니다. 전개하면 x²+5x+3x+15=x²+8x+15가 되어 두 조건이 모두 확인됩니다.

추가 비교로 “두 인수의 상수항 곱만 맞으면 인수분해가 끝난다”는 설명이 맞는지도 살펴볼 수 있습니다. (x-4)(x-5)는 상수항의 곱이 20이지만 전개하면 x²-9x+20이므로 x²+9x+20과 다릅니다. 이 식의 올바른 인수분해는 (x+4)(x+5)입니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이를 가린 상태에서 곱과 합을 먼저 확인하는지, 전개 결과의 일차항까지 근거를 들어 설명하는지, 바뀐 수치의 문제에도 같은 판단을 적용하는지를 확인합니다.