부산사직동 고등수학과외

“f(x)=x+1이므로 모든 실수에서 정의됨”에서 멈추지 않기

공통수학2의 유리식과 유리함수에서는 식을 간단히 만드는 과정과 정의역을 정하는 과정을 함께 확인해야 한다. 예시 답안에 “f(x)=x+1이므로 모든 실수에서 정의됨.”이라고 적혀 있다면, 계산 결과만 보고 결론을 낸 것은 아닌지 먼저 살핀다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 학생이 원래 식의 조건을 직접 다시 표시하게 한다.

문제는 f(x)=(x²−1)/(x−1)의 식을 간단히 하고 정의역을 구하는 것이다. 원래 분모가 0이 되면 식이 정의되지 않으므로 x−1≠0, 즉 x≠1이라는 조건이 먼저 생긴다. 이때 확인 질문은 간단하다. 원래 식에서 x=1을 대입하면 분모는 얼마인가? 학생이 0이라고 답하는지, 또는 약분된 식만 보고 1도 가능하다고 생각하는지에 따라 확인할 지점이 달라진다.

약분한 식과 원래 식의 조건을 나누어 적기

분자는 x²−1=(x−1)(x+1)로 인수분해할 수 있다. 따라서 첫 비교는 (x−1)(x+1)/(x−1)와 x+1이다. 단, 이 약분은 x−1≠0일 때만 가능하므로 옆에 x≠1을 함께 남겨야 한다. 여기서 교사가 모든 계산을 대신 쓰지 않고 첫 비교까지만 제시하면, 학생은 원래 분모의 금지값과 약분 결과를 스스로 연결해 적을 수 있다.

학생의 수정 풀이는 “f(x)=x+1, 단 x≠1”이다. 결론은 식의 값이 x+1이라는 사실과 정의역이 모든 실수에서 1을 뺀 집합이라는 사실을 분리해 쓰는 데 의미가 있다. 정답은 f(x)=x+1, 정의역 R−{1}이다. 그래프로도 확인할 수 있다. 직선 y=x+1 위의 점 중 x=1일 때의 점 (1,2)만 빠져 있으므로, 약분 전 식과 약분 후 식은 그 한 점에서 다르다.

빠진 입력이 치역의 빠진 출력으로 이어지는지 재적용하기

다음에는 같은 식이라도 치역을 구하는 문제로 바꾸어 확인한다. 문제와 조건인 f(x)=(x²−1)/(x−1), x≠1을 남기고, 풀이와 정답 및 유도 표시를 가린 상태에서 시작한다. 먼저 학생이 바뀐 질문이 치역인지 표시하고, 약분 이전의 분모 조건 x≠1도 다시 적는지 본다. 식은 허용된 입력에서 y=x+1로 볼 수 있다.

이제 y=2가 가능한지 확인한다. y=x+1에서 y=2이면 x=1 하나뿐인데, 이 입력은 조건에 맞지 않는다. 따라서 2는 만들 수 없다. 반대로 y≠2이면 x=y−1로 정할 수 있고, 이때 x≠1이므로 허용된다. 그러므로 치역은 R−{2}이다. 마지막으로 학생은 빠진 출력 2와 나머지 모든 출력에 대응하는 입력이 각각 존재하는지 직접 대조한다. 오답의 마지막 줄을 비워 두고 바른 결론과 이유를 채우게 하면, 약분과 정의역을 분리하지 못한 경우에도 원식의 금지값을 먼저 옆에 남기는 습관을 이어 갈 수 있다.