비산동 수학과외

문자 A와 B로 만드는 길이 3 문자열

다음 문제에서 학생이 「2×1=2개다」라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 문자 A와 B를 중복 사용하여 길이 3의 문자열을 만들 때 몇 개인지 묻고 있습니다. 여기서 최종적으로 구해야 하는 것은 한 자리에서 고르는 방법의 수가 아니라, 세 자리를 모두 채워 만든 문자열의 전체 개수입니다. 따라서 각 자리에서 어떤 문자를 선택할 수 있는지, 한 번 사용한 문자를 다시 사용할 수 있는지를 먼저 확인해야 합니다.

문제에 ‘중복 사용’이 명시되어 있으므로 첫째 자리에는 A와 B, 두 번째 자리에도 A와 B, 셋째 자리에도 A와 B를 놓을 수 있습니다. 예를 들어 AAA와 AAB처럼 같은 문자를 다시 쓰는 경우도 포함됩니다. 반면 「2×1=2」라는 답은 첫째 자리의 선택 두 가지와 그다음 선택 한 가지만 계산한 셈입니다. 세 자리 문자열을 완성해야 하는 조건을 끝까지 반영하지 못했거나, 자리가 바뀔 때 선택 수가 줄어든다고 판단했을 가능성이 있습니다. 다만 이 답 하나만으로 개념을 완전히 이해하지 못했다고 단정하지 않고, 학생이 왜 두 번째 선택을 1개로 보았는지부터 확인합니다.

선택 수가 줄어드는지 확인하는 질문

교사는 먼저 “첫째 자리에 A를 놓았다면 둘째 자리에는 어떤 문자를 놓을 수 있나요?”라고 묻습니다. 학생이 B만 가능하다고 답한다면, 중복 사용이라는 조건을 다시 짚어 “A를 이미 썼어도 A를 다시 쓸 수 있다고 했을 때, 둘째 자리에서 제외되는 문자가 있나요?”라고 확인합니다. 이 질문은 곱셈 계산보다 앞서 문제의 조건을 읽는 방법을 살피기 위한 것입니다.

또 “문자 두 개를 고르는 순서가 전체 문자열을 구별하는 기준인가요?”라고 물어, 각 자리가 역할을 가진다는 점도 확인합니다. 길이 3의 문자열에서는 첫째, 둘째, 셋째 자리의 문자가 각각 정해져야 하므로 AAB와 ABA는 서로 다른 결과입니다. 학생이 개념을 말로 설명하기 어렵다면 교사가 첫째 자리와 둘째 자리만 함께 채워 A와 A, A와 B, B와 A, B와 B를 보여 주고, 셋째 자리도 같은 방식으로 선택할 수 있음을 연결해 줍니다.

조건을 반영해 다시 세우는 풀이

교사는 문제의 핵심 조건인 길이 3과 중복 사용 가능을 표시하게 합니다. 첫째 자리에는 2가지, 둘째 자리에도 중복을 허용하므로 2가지, 셋째 자리에도 2가지가 있습니다. 각 자리의 선택이 이어져 하나의 문자열이 되므로 곱셈 원리를 적용하여 2×2×2=2³=8로 계산합니다. 여기서 2³의 3은 세 자리를 뜻하고, 각 자리의 2는 A와 B 중 하나를 선택할 수 있다는 뜻입니다.

학생이 처음 식에서 어느 부분을 바꾸었는지 설명하기 어려우면, 교사는 첫째 자리에서 A를 고른 뒤 둘째 자리에 A를 다시 쓸 수 있는 경우를 함께 하나 만들어 봅니다. 그다음 “셋째 자리에서도 선택 수가 줄어드나요?”라고 이어서 묻고, 학생이 두 가지 선택을 직접 적게 합니다. 학생은 처음의 2×1에서 두 번째와 세 번째 자리를 1가지로 줄인 판단을 고쳐, 세 자리 모두에 2가지씩 선택할 수 있다고 다시 풉니다. 따라서 답은 2×2×2=8개라고 결론 내립니다.

문자열을 직접 확인하고 새 조건에 적용하기

계산 결과는 가능한 문자열을 직접 나열해 확인할 수 있습니다. AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB로 모두 8개이며, 같은 문자가 연속되거나 반복되는 경우도 빠지지 않았습니다. 이 확인은 처음 식을 그대로 반복하는 것이 아니라, 2³으로 계산한 결과가 실제 문자열 목록과 일치하는지 살피는 방법입니다. 다시 풀 때는 문제의 조건과 수치는 보이게 두고, 앞에서 적은 풀이와 정답은 가린 뒤 학생이 선택 수를 다시 판단하도록 합니다. 혼자 계산하지 못하면 개념을 다시 설명할지, 곱셈 과정만 도울지 막힌 지점을 보고 조절합니다.

새 적용 문제로 문자 A, B, C를 반복 사용해 두 글자 암호를 만든다고 해 보겠습니다. 각 자리에는 세 문자 중 하나를 놓을 수 있고, 반복이 허용되므로 첫째 자리 3가지와 둘째 자리 3가지를 곱해 3×3=3²=9개입니다. AA처럼 같은 문자를 두 번 쓰는 경우도 포함됩니다. 앞 문제와 달라진 것은 문자 종류가 2개에서 3개로, 자리 수가 3자리에서 2자리로 바뀐 점이며, 반복을 허용한다는 판단은 그대로 적용됩니다.

필요하다면 “학생 11명 중 대표와 부대표를 겸임 없이 한 명씩 뽑는 경우의 수”도 비교할 수 있습니다. 이때는 대표를 11명 중 고르고 부대표는 남은 10명 중 고르므로 11×10=110가지입니다. 대표와 부대표는 역할이 다르기 때문에 같은 두 사람이라도 역할을 바꾸면 다른 결과이며, 2로 나누지 않습니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이를 가린 상태에서 선택 수를 다시 세우고, 각 수가 무엇을 뜻하는지 설명하며, 반복 허용 여부와 자리의 역할이 달라진 문제에도 방법을 구분해 적용하는지를 확인합니다.