비산동 고등수학과외

“두 번 모두”를 말과 식으로 맞춰 보기

확률과 통계에서 복원하는 두 번 추출을 설명할 때는 말로 이해한 조건과 실제 식에 적용한 조건이 같은지 확인해야 한다. 빨강 공 3개와 파랑 공 2개가 있고, 같은 크기의 공을 한 번 뽑을 때마다 다시 돌려놓고 충분히 섞는다고 하자. 이때 두 번 모두 빨강일 확률을 구하는 문제에서 “각각 빨강일 확률이 3/5이므로 두 번 모두 3/5+3/5”라고 답했다면, 먼저 답만 고치기보다 그 식이 어떤 사건을 계산하는지 살펴본다. 3/5+3/5=6/5는 확률의 범위를 벗어나므로 두 사건을 합치는 방식부터 다시 확인해야 한다.

“두 번 모두”는 첫 번째와 두 번째가 함께 일어나는 경우다. 합의 법칙은 ‘첫 번째가 빨강이거나 두 번째가 빨강’처럼 합집합을 다룰 때 검토하는 방법이지, 두 조건이 동시에 충족되는 상황에 바로 쓰는 식은 아니다. 따라서 “두 번 모두라는 조건에 합의 법칙을 쓸 수 있는가?”라고 스스로 질문하고, 처음 세운 식 옆에 실제로 구하려는 사건을 말로 적어 대조한다.

독립과 배반을 확률로 확인하기

오답 하나만으로 독립을 오해했다고 단정하지 않는다. 학생이 두 추출을 ‘동시에 일어날 수 없는 사건’으로 생각했는지, 또는 첫 번째 추출 뒤 표본 구성이 바뀐다고 잘못 판단했는지를 확인 질문으로 나눈다. 독립은 두 사건이 함께 일어날 수 없는지가 아니라 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는지와 관련된다. 사건 A와 B가 독립이면 P(A∩B)=P(A)P(B)로 확인한다. 반면 배반은 A∩B가 공집합이라는 뜻이다. 양의 확률을 가진 배반사건은 교집합 확률이 0이므로 일반적으로 독립이 아니다.

이 문제에서는 공을 뽑은 뒤 반드시 돌려놓으므로 두 번째 추출에서도 빨강일 확률은 그대로 3/5이다. 복원이라는 조건이 표본 구성을 유지하고, 그 결과 두 추출이 독립이라는 연결을 식으로 확인한다. 기준을 들은 뒤에는 학생이 직접 두 확률을 곱해 ?처럼 빈칸을 채우고, 왜 덧셈이 아닌 곱셈인지 자신의 말로 표시하게 한다. 답은 (3/5)²=9/25이다. 공을 구별하면 가능한 순서쌍은 5×5=25개이고, 빨강·빨강인 순서쌍은 3×3=9개이므로 같은 결과가 나온다. 9/25는 0과 1 사이이므로 확률의 범위에도 맞는다.

조건을 바꾸어 같은 기준을 다시 쓰기

배움노트 고등수학 수업에서는 표현만 바꾼 문제와 실제 조건이 달라진 문제를 구별하는 연습까지 이어 간다. 재적용을 시작할 때는 빨강 3개와 파랑 2개, 두 번 균등 추출, 공을 돌려놓지 않는다는 조건만 남긴다. 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 학생이 먼저 첫 번째 빨강의 확률과 그 조건 아래 두 번째 빨강의 확률을 각각 적게 한다. 이번에는 첫 추출 뒤 빨강 공 하나가 빠져 있으므로 둘째 확률은 2/4가 된다. 따라서 (3/5)(2/4)=3/10으로 계산한다.

계산한 뒤에는 공을 구별하지 않는 방법으로도 대조한다. 전체 두 개 선택은 5C2, 빨강 두 개 선택은 3C2이므로 3C2/5C2=3/10이다. 복원 문제의 9/25와 값이 다른 이유는 표현의 차이가 아니라 추출 뒤 표본 구성이 달라졌기 때문이다. 마지막으로 처음의 3/5+3/5를 교사의 설명 없이 스스로 고치고, “두 번 모두”에 합의 법칙을 쓸 수 없는 이유와 새 조건에서 둘째 확률이 달라지는 이유를 함께 설명하게 한다. 두 답변과 풀이가 모두 맞는지 확인한 뒤, 다음 문제에서도 교집합과 각 단계의 조건부 확률을 실제로 비교하며 같은 기준을 이어 간다.