양정동 수학과외

제곱식이라는 이유만으로 해를 두 개 세는 경우

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. (x-1)²=0의 서로 다른 실근 개수는? 학생이 “제곱식이므로 2개다.”라고 적었다면, 제곱을 했다는 사실과 해의 개수를 바로 연결한 판단이 어긋난 것입니다. 이 식은 (x-1)(x-1)=0으로 쓸 수 있지만, 두 인수가 서로 다르지 않고 모두 x-1입니다. 따라서 두 인수에서 각각 얻는 값이 서로 다른지 확인해야 합니다. 문제에서 묻는 것은 해를 몇 번 얻었는지가 아니라 서로 다른 실근의 개수입니다.

오답의 이유를 한 단계씩 구분하기

교사는 먼저 “제곱식이므로 2개라고 생각한 이유가 무엇인지”, “(x-1)²를 두 개의 서로 다른 인수로 보았는지”, “각 인수를 0으로 놓았을 때 어떤 값을 얻는지”를 차례로 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 괜찮습니다. 교사는 식을 (x-1)(x-1)=0으로 함께 펼쳐 보인 뒤, 곱이 0이면 인수 중 하나가 0인 경우를 나누어 살핀다는 개념을 짚습니다. 첫 번째 인수에서 x-1=0이므로 x=1이고, 두 번째 인수에서도 다시 x-1=0이므로 x=1입니다. 여기서 같은 값을 두 번 얻었다는 점과 서로 다른 두 해를 얻었다는 점을 구분합니다. 개념은 말할 수 있지만 결론이 달라진다면, 제곱식의 모양보다 문제에서 요구한 ‘서로 다른’이라는 표현을 놓쳤는지도 함께 확인합니다.

설명 뒤에 다시 구성하는 풀이

이제 처음의 답과 풀이를 가리고, 문제의 조건만 보면서 다시 시작한다고 하겠습니다. 학생은 먼저 주어진 식을 (x-1)(x-1)=0으로 바꿉니다. 곱이 0이 되려면 각 인수가 0이 되는 경우를 살펴보므로 x-1=0을 풉니다. 두 인수가 같기 때문에 두 경우 모두 x=1이라는 같은 해를 줍니다. 따라서 답은 두 번의 경우를 단순히 세어 2개라고 하는 것이 아니라, 중복을 제외한 서로 다른 실근 1개입니다. 교사가 x-1=0을 한 번 풀어 보인 뒤에는 학생이 두 번째 인수도 같은 식인지 직접 비교하고, 같은 결과를 중복해서 세지 않은 채 최종 답까지 적도록 합니다. 다른 방식으로 (x-1)²가 0이 되려면 x-1=0이어야 한다고 설명해도 조건과 계산이 맞으면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

대입 확인과 새 조건에 적용하기

검산할 때는 두 인수에 각각 x=1을 대입합니다. 첫 번째 인수도 1-1=0이고 두 번째 인수도 1-1=0이므로 원래 식의 좌변은 0·0=0이 됩니다. 두 인수가 모두 같은 해를 준다는 사실과 원래 등식을 만족한다는 사실을 함께 확인할 수 있습니다. 이어서 새 문제 (x+2)²=0은 서로 다른 두 해를 가지는가?를 제시합니다. 이전 문제와 제곱식이라는 모양은 같지만 인수가 x+2로 두 번 반복됩니다. x+2=0에서 x=-2를 얻고 두 인수 모두 같은 값을 주므로, 이 문제도 서로 다른 실근은 1개이며 두 해를 가지지 않습니다. 학생이 앞의 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 결론을 스스로 구성하는지 확인합니다. 필요하다면 추가로 x(x-7)=0을 비교해 볼 수 있습니다. 이때는 x=0 또는 x=7로 서로 다른 두 해가 생기지만, 식 전체를 x로 나누면 x=0인 해가 사라집니다. 따라서 문자가 곱해져 있다고 해서 조건 없이 그 문자로 나눌 수 있는 것은 아니며, 나누기 전 x=0인 경우를 따로 살펴야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 해의 개수뿐 아니라 각 해가 왜 중복되거나 달라지는지 근거를 설명하는지 확인합니다.