가야동 수학과외

대표 문제에서 헷갈린 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “입력 1에 출력 2와 3을 동시에 정한 대응은 함수인가?”라는 질문에 학생이 “두 출력이 모두 숫자라 함수다.”라고 답했습니다. 이 답은 숫자인지 아닌지를 기준으로 함수 여부를 판단한 경우입니다. 하지만 함수에서 먼저 확인할 조건은 출력의 종류가 아니라 입력 하나에 출력 하나가 정해지는지입니다.

대표 문제에서는 입력 1 하나에 출력 2와 출력 3이 함께 연결되어 있습니다. 따라서 결과가 모두 숫자라는 사실만으로는 함수라고 할 수 없습니다. 같은 입력에 서로 다른 두 출력이 대응되므로, 이 대응은 함수가 아닙니다. 여기서 구해야 할 것은 출력의 숫자 여부가 아니라, 한 입력이 결과를 하나로 결정하는지입니다.

오답이 나온 이유를 구분하는 확인

교사는 처음부터 학생의 오답 원인을 하나로 단정하지 않고 “함수의 조건을 말로 설명해 볼까?”라고 묻습니다. 학생이 “입력 하나에 출력 하나가 정해지는 관계”라고 설명할 수 있다면 개념은 알고 있지만, 대표 문제의 연결 관계를 읽는 단계에서 판단이 어긋났을 가능성이 있습니다. 반대로 숫자로 이루어진 대응이면 모두 함수라고 설명한다면 함수의 정의와 문제에 적용하는 방법을 다시 나누어 살펴봅니다.

학생이 막힌 이유를 바로 말하지 못해도 교사는 입력 1을 먼저 가리키고 “이 입력에서 갈 수 있는 출력은 몇 개인가?”라고 한 단계씩 묻습니다. 출력 2만 보았을 때 판단을 멈춘 것인지, 출력 3까지 확인했지만 숫자라는 점을 더 중요하게 본 것인지 살펴보는 것입니다. 이렇게 하면 단순 계산 실수가 아니라, 함수 조건을 문제의 대응에 적용하는 과정에서 생긴 어려움인지 확인할 수 있습니다.

조건을 짚고 다시 세우는 풀이

교사는 대표 문제의 핵심을 “입력 하나가 여러 결과를 갖는가?”로 바꾸어 읽도록 돕습니다. 함수의 조건은 입력 하나마다 출력이 정확히 하나로 정해지는 것입니다. 따라서 입력 1에서 출력 2와 출력 3이 모두 정해졌다면, 입력 하나가 두 결과를 갖는 셈입니다. 이 조건은 함수가 되기 위한 조건과 맞지 않습니다.

필요하면 교사가 “입력 1을 넣었을 때 결과를 하나만 말할 수 있니?”라는 질문을 먼저 함께 풉니다. 학생은 입력 1에서 출력 2와 3을 각각 확인한 뒤, 두 개의 출력이 있다는 사실을 풀이에 반영합니다. 처음의 “두 출력이 모두 숫자라 함수다.”라는 판단에서, 이제는 “숫자인지는 함수 조건이 아니고, 입력 1에 출력이 두 개이므로 함수가 아니다.”라고 고쳐 씁니다. 표시만 남기는 데서 끝내지 않고, 대응 관계를 근거로 결론까지 완성하는 과정입니다.

이때 모든 관계가 함수가 되려면 출력이 서로 다른 숫자인지보다 각 입력에서 결과가 하나로 정해지는지가 중요하다는 점을 구분합니다. 특정 문제의 숫자를 보고 만든 요령을 모든 관계에 넓히지 않고, 함수의 정의를 문제의 조건에 직접 대입해 판단하도록 합니다.

조건에 대입하는 검산과 새 적용

풀이를 확인할 때는 같은 설명을 반복하기보다 대표 문제의 조건에 다시 대입합니다. 입력 1만 알고는 출력 2와 출력 3 중 어느 하나가 결과인지 결정할 수 없습니다. 따라서 입력 하나로 결과 하나가 정해져야 한다는 조건을 만족하지 못합니다. 학생이 풀이 순서를 따라 적은 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤, 문제의 연결 관계만 보면서 입력 1의 출력 개수를 다시 세어 보게 합니다. 혼자 시작하지 못하면 함수의 조건만 짧게 확인하고, 이어지는 판단은 학생이 다시 시도하도록 도움을 조절합니다.

새 적용 문제는 “입력 2에 출력 4와 6이 모두 대응한다. 이 대응은 함수인가?”입니다. 이번에는 입력 2에 출력이 두 개라는 조건이 바뀌지 않았으므로, 앞에서 확인한 방법을 그대로 사용할 수 있습니다. 학생은 입력 2에서 출력 4와 6을 모두 확인하고, 입력 하나에 출력이 둘이므로 함수가 아니라고 판단합니다. 이후에는 필요할 때 “입력 하나가 출력 두 개를 갖더라도 두 출력의 평균을 정하면 함수인가?”를 비교해 볼 수 있습니다. 원래 대응이 출력 4와 6을 각각 지정한 것은 여전히 함수가 아니지만, 두 값을 평균 내어 하나의 결과만 정하는 새 규칙은 다른 대응입니다. 다음 수업에서는 학생이 대표 문제와 새 문제의 풀이를 가린 상태에서 다시 해결하고, 왜 함수가 아닌지 입력과 출력의 관계로 설명하는지 확인합니다.