양정동 고등수학과외

사라진 조건과 최고차항의 차수 확인

“aₙ=(2n+1)/(n²+3), n≥1의 극한을 구하라.” 이 문제를 이렇게 답했다면 어떤 조건이 풀이에서 사라졌는지 먼저 찾는다. 예시 오답은 분자의 최고계수 2와 분모의 최고계수 1의 비를 계산해 2라고 한 경우다. 그러나 최고계수의 비를 바로 쓰는 방법은 분자와 분모의 차수가 같을 때의 판단이다. 여기서는 분자는 1차식이고 분모는 2차식이다. 따라서 학생에게 “분자·분모의 차수가 같은가?”, “n이 양의 정수로 커질 때 분모의 크기는 어떤 속도로 커지는가?”라고 묻는다. 몇 항의 값이 작아지는 모습을 수렴의 결론과 혼동한 것인지, 특정 항만 보고 판단한 것인지도 구분한다. 진동 여부를 놓친 경우라면 홀수 번호와 짝수 번호 항을 나누어 보게 하지만, 이 식 자체에는 부호를 번갈아 바꾸는 인자가 없다는 점도 함께 확인한다.

n²으로 나누어 학생이 직접 완성하는 풀이

배움노트 고등수학 수업에서는 교사가 정답을 대신 말하기보다 식의 구조가 드러나는 한 단계를 제시한다. 분자와 분모를 n²으로 나누면 aₙ=(2/n+1/n²)/(1+3/n²)이다. 이제 학생이 각 항의 극한과 분모의 극한을 직접 표시하게 한다. n은 양의 정수이고 n→∞이므로 2/n과 1/n², 3/n²은 각각 0으로 가며 분모 전체는 1로 간다. 학생이 완성한 수정 풀이는 “각 분수항이 0으로 가므로 수열의 극한은 0”이다. 이때 단순히 항 몇 개의 소수값을 보고 결론 내린 것이 아니라, 일반항을 최고차항으로 나누어 전체 수열의 극한을 판단했다는 점을 말로 설명하게 한다. 별도의 비교로도 확인할 수 있다. n≥1에서 0<aₙ≤3/n이므로 3/n이 0으로 수렴한다는 사실과 함께 aₙ의 극한이 0임을 확인한다. 따라서 정답은 0이다.

표현이 바뀌어도 차수 판단을 옮기기

수정한 뒤에는 문제와 조건을 따로 남긴다. 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 “aₙ=(2n+1)/(n+3), n≥1의 극한을 구하라”를 다시 시작한다. 이번에는 분자와 분모의 차수가 모두 1차이므로 같은 방식으로 최고차항을 기준 삼을 수 있다. aₙ=(2+1/n)/(1+3/n)으로 정리하면 n→∞에서 극한은 2이다. aₙ−2=−5/(n+3)→0이라는 부분 검산으로도 실제 값과 2의 차이가 0으로 가까워짐을 확인한다. 앞 문제와 이번 문제는 식의 모양이 비슷하지만 분모의 차수가 달라 결론이 달라진다. 수정 전후 풀이를 섞어 놓고 낮은 차수 분자에 맞는 순서를 복원하게 한 뒤, 최고차항으로 나누는 이유를 설명하게 한다. 이후에는 부호가 달라지는 수열이나 홀수·짝수 항의 거동이 다른 문제를 제시해, 몇 항의 값이 아니라 일반항과 조건을 먼저 확인하는지 점검한다.