당감동 수학과외

대표 문제에서 내심이라고 답한 이유 살펴보기

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점은 내심이다.” 답을 바로 외운 내용의 부족으로 단정하지 않고, 먼저 학생이 어떤 조건을 보고 내심을 떠올렸는지 확인합니다. 이 문제의 핵심은 ‘각’이 아니라 ‘변의 양 끝점까지의 거리’입니다. 수직이등분선은 한 선분을 정확히 반으로 나누면서 수직으로 만나는 선이고, 그 선 위의 점은 해당 선분의 두 끝점에서 거리가 같습니다.

반면 내심은 삼각형의 세 각을 각각 이등분하는 각의 이등분선이 만나는 점입니다. 내심에서는 세 변에 내린 수선의 길이가 같다는 성질을 사용합니다. 따라서 문제에 제시된 선이 각의 이등분선인지, 변을 수직으로 이등분하는 선인지 먼저 구별해야 합니다. 학생이 내심을 떠올린 과정에서 선의 이름을 혼동했는지, 또는 ‘삼각형 안에서 여러 선이 만나는 점’을 모두 내심이라고 생각했는지는 짧은 설명과 직접 적용을 통해 나누어 확인합니다.

조건을 거리의 관계로 바꾸어 읽기

교사는 삼각형의 두 변을 골라 각각의 수직이등분선을 생각하게 합니다. 첫 번째 수직이등분선 위의 교점은 첫 번째 변의 양 끝점에서 거리가 같습니다. 두 번째 수직이등분선 위에도 같은 교점이 있으므로, 두 번째 변의 양 끝점까지의 거리도 같습니다. 이때 공통으로 포함된 꼭짓점까지의 거리를 연결하면 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같다는 결론을 얻습니다.

교사는 “지금 같은 거리를 비교하는 대상은 세 변인가, 세 꼭짓점인가?”라고 묻고, 학생이 막히면 첫 번째 수직이등분선에서 양 끝점까지의 거리만 함께 확인합니다. 그다음 두 번째 선에서는 어떤 두 꼭짓점의 거리가 같아지는지 학생이 직접 말하고 식으로 적게 합니다. 내심은 세 변까지의 수선의 길이를 비교하는 점이고, 이 문제는 세 꼭짓점까지의 거리를 비교하므로 서로 다른 조건임을 문제의 선 종류와 연결해 설명합니다.

학생의 수정 풀이와 검산

이제 처음의 답과 풀이를 가린 상태에서 문제의 조건만 다시 보고, 학생이 대표 문제를 풀어 보게 합니다. 학생은 ‘수직이등분선’이라는 조건을 확인한 뒤, 한 변의 수직이등분선 위의 점은 그 변의 양 끝점에서 등거리라는 성질을 적용합니다. 이어 다른 변의 수직이등분선에서도 같은 방식으로 등거리 관계를 적습니다. 두 관계를 이어 세 꼭짓점까지의 거리가 같다고 판단하고, 따라서 그 교점은 외심이라고 수정합니다.

검산할 때는 풀이를 그대로 반복하지 않고, 수직이등분선 위의 점이라는 조건을 다시 사용합니다. 두 수직이등분선의 교점이 첫 번째 변의 양 끝점에서 같은 거리이고, 두 번째 변의 양 끝점에서도 같은 거리라면 공통 꼭짓점과의 거리 두 개가 같아집니다. 그러므로 나머지 꼭짓점까지의 거리도 같아집니다. 이 확인은 ‘세 꼭짓점까지의 거리가 같다’는 외심의 조건과 일치하며, 세 변까지의 수선의 길이를 비교하는 내심의 조건과는 다르다는 점도 함께 보여 줍니다. 학생이 혼자 다시 풀지 못한다면 개념 설명이 필요한지, 등거리 관계를 이어 쓰는 단계에서 막혔는지 살펴보고 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 확인하기

새 적용 문제는 다음과 같습니다. 삼각형에서 두 변의 수직이등분선이 만나는 점은 세 번째 꼭짓점에서도 같은 거리에 있는가? 앞 문제와 달리 이번에는 ‘세 변의 수직이등분선의 교점’을 바로 묻지 않고, 두 선의 교점에서 세 번째 꼭짓점까지의 거리 관계를 확인합니다. 두 수직이등분선 중 하나는 첫 번째 변의 양 끝점까지의 거리를 같게 하고, 다른 하나는 두 번째 변의 양 끝점까지의 거리를 같게 하므로, 두 선의 교점은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있습니다. 따라서 그렇다고 답할 수 있고, 그 점은 외심입니다.

추가로 한 변의 수직이등분선 위에 있다는 사실만으로 외심을 정할 수 있는지도 확인할 수 있습니다. 그 선 위에는 해당 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점이 무수히 많으므로, 한 선에 있다는 사실만으로는 부족합니다. 다른 변의 수직이등분선과 만나는 점이어야 세 꼭짓점까지의 거리를 맞출 수 있습니다. 다음 수업에서는 학생이 이전 풀이와 정답을 가린 채 새 문제를 다시 해결하고, 왜 외심인지 조건과 거리 관계를 설명하는지를 확인합니다. 숫자나 표현이 달라져도 수직이등분선의 등거리 성질을 정확히 적용하는지가 다음 판단 기준입니다.