전포동 수학과외

“반지름을 알아야 한다”는 판단이 어긋난 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 원 밖의 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 A, B라 하고, PA=7cm일 때 PB를 구하는 문제입니다. 한 학생이 “반지름을 알아야 한다”고 답했다면, 먼저 반지름을 계산해야 한다는 생각 때문에 문제에서 이미 직접 비교할 수 있는 두 접선의 관계를 놓친 상황일 수 있습니다. 다만 이 한 문장만으로 계산 실수인지 개념 적용의 어려움인지 단정하지 않고, 학생이 왜 반지름이 필요하다고 생각했는지와 두 접선이 어디에서 출발하는지를 함께 확인합니다.

교사는 “PA와 PB는 각각 어떤 선분인가?”, “두 선분은 같은 점 P에서 출발하는가?”라고 묻습니다. 학생이 접선이라는 말을 알고 있어도 같은 외부점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질을 대표 문제에 연결하지 못했을 수 있기 때문입니다. 반지름을 구하는 계산을 먼저 시켜 보았는데도 문제의 조건과 식을 연결하지 못한다면 개념 적용 과정을 다시 살피고, 개념을 설명하면서도 식을 잘못 세운다면 처음 읽은 조건과 달라진 부분부터 확인합니다.

조건을 짚고 접선의 길이를 같게 놓기

이 문제에서 중요한 조건은 P가 원 밖의 한 점이고, P에서 원에 그은 두 선분 PA와 PB가 각각 접선이라는 점입니다. 접선은 원과 한 점에서 만나며, 같은 외부점에서 한 원에 그은 두 접선의 길이는 같다는 성질을 사용할 수 있습니다. 따라서 PA와 PB를 비교하기 위해 원의 반지름을 별도로 알아낼 필요가 없습니다. 문제에서 PA=7cm를 이미 주었으므로, 같은 외부점 P에서 출발한 접선 PB도 7cm입니다.

교사는 먼저 “두 접선이 정말 같은 외부점 P에서 출발하는지”를 문제 문장에서 찾아보게 합니다. 학생이 이 부분을 바로 설명하기 어렵다면 교사가 PA와 PB의 시작점을 각각 짚어 “둘 다 P에서 시작한다”고 한 단계 보여 준 뒤, 학생이 그 조건을 이용해 두 길이를 같게 다시 써 보도록 돕습니다. 이때 반지름은 원의 중심에서 원 위의 점까지의 선분이고, 지금 구해야 하는 것은 P에서 접점까지의 접선 길이라는 점도 구분합니다.

학생의 수정 풀이와 다른 방식의 검산

학생은 처음의 “반지름을 알아야 한다”는 판단을 바꾸어, PA=PB라고 놓습니다. PA=7cm이므로 PB=7cm입니다. 학생이 단순히 7이라는 답만 적는 데서 끝내지 않고, “두 선분이 같은 외부점 P에서 같은 원에 그은 접선이므로 길이가 같다”고 문제 조건과 연결해 말하거나 적는지를 확인합니다.

이 결과는 원의 중심을 O로 두고 다른 방식으로도 확인할 수 있습니다. 반지름이므로 OA=OB이고, 접선은 접점에서 반지름과 수직이므로 ∠OAP와 ∠OBP는 각각 직각입니다. 두 직각삼각형 OAP와 OBP에서 OP는 공통 빗변이며 OA=OB이므로 두 삼각형은 합동입니다. 따라서 대응하는 접선의 길이 PA와 PB가 같다는 결론이 다시 나옵니다. 이는 반지름의 실제 길이를 구하는 풀이가 아니라, 두 접선 길이가 같다는 성질을 기하적으로 확인하는 검산입니다.

검산 뒤에는 수정 풀이와 답을 가린 상태에서 같은 문제를 다시 시작하게 합니다. 학생이 조건을 보고 PA=PB를 세운 뒤 PB=7cm까지 스스로 이어 가는지 확인하고, 막히면 개념 설명이 필요한지 계산 과정에서 어려움을 겪는지에 따라 도움의 양을 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 문제의 조건과 논리가 맞으면 인정합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

이제 기본 문제와 다른 식이 주어진 새 문제를 적용합니다. 같은 외부점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 A, B라 하고, PA=2x+1, PB=11이라고 하겠습니다. 바뀐 것은 접선 PA의 길이가 숫자 7이 아니라 식 2x+1로 주어진 점입니다. 그러나 두 접선이 같은 외부점 P에서 같은 원에 그어졌다는 조건은 그대로이므로, 이전 성질을 그대로 적용할 수 있습니다.

따라서 2x+1=11이고, 양변에서 1을 빼면 2x=10, 양변을 2로 나누면 x=5입니다. x=5를 식에 다시 대입하면 PA=2×5+1=11이므로 PB=11과 일치합니다. 학생이 숫자만 바꾸어 외운 것이 아니라, 같은 외부점에서 그은 두 접선이라는 조건을 새 식에도 연결했는지가 다음 확인 내용입니다.

필요하다면 “같은 원에 그은 접선은 출발점이 달라도 항상 길이가 같다”는 설명이 맞는지 비교해 볼 수 있습니다. 반지름이 12cm인 원에서 OP=13cm, OQ=15cm라면 P와 Q는 서로 다른 외부점입니다. 직각삼각형을 이용하면 P에서의 접선 길이는 √(13²−12²)=5cm, Q에서의 접선 길이는 √(15²−12²)=9cm입니다. 따라서 출발점이 다르면 두 접선의 길이가 같다고 할 수 없고, 각각의 외부점에서 그은 두 접선끼리 길이가 같다는 조건을 구분해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 답을 가린 상태에서 이 조건을 먼저 찾고, 그 근거를 설명한 뒤 새 문제에 적용하는지를 확인합니다.