용당동 수학과외

오른쪽 끝점이라고 답한 이유 살펴보기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. -2≤x≤1에서 y=x²의 최댓값은? 학생이 “오른쪽 끝 1이다.”라고 답했다면, 단순히 숫자를 잘못 계산했다고 보기보다 구간의 끝점 중 어느 값을 비교해야 하는지 판단한 과정을 먼저 살펴봅니다. 이 문제에서 구해야 하는 것은 x의 값 자체가 아니라, 정해진 구간에서 y=x²가 가질 수 있는 가장 큰 함숫값입니다. 따라서 x=1을 확인했다면 y=1²=1까지 계산해야 하며, 그것만으로 최댓값이라고 결론 내리기에는 x=-2에서의 함숫값을 비교하지 않았다는 점이 남습니다.

교사는 “오른쪽 끝을 확인해야 한다는 조건이 문제에 따로 있었을까?”, “x=-2도 주어진 구간에 포함되는가?”, “y는 x와 같은 값인가, x를 제곱한 값인가?”라고 차례로 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하더라도, 구간의 양 끝을 함께 적고 한쪽 값부터 계산하도록 돕습니다. 이렇게 하면 오답의 원인이 계산 실수인지, 구간의 한쪽만 살핀 것인지, 최댓값과 x의 값을 혼동한 것인지 구분할 수 있습니다.

두 끝점의 함숫값을 비교해 수정하기

이 함수의 꼭짓점은 x=0에서 생기며, y=0²=0입니다. 0은 주어진 구간 -2≤x≤1 안에 포함됩니다. y=x²에서는 x=0에서 꼭짓점의 값이 가장 작아지고, 양의 방향이나 음의 방향으로 0에서 멀어질수록 제곱값이 커집니다. 다만 이 문제에서는 이 성질만 말하고 끝내지 않고, 실제 구간의 양 끝점에서 값을 계산해 비교해야 합니다.

교사는 학생과 함께 대칭축 x=0에서 각 끝점까지의 거리를 확인합니다. x=-2는 대칭축에서 2만큼 떨어져 있고, x=1은 1만큼 떨어져 있습니다. 그런 다음 “거리만 비교한 것이 아니라, 이 함수에서 그 거리가 함숫값의 제곱과 연결되는 이유가 무엇인지”를 설명합니다. 학생은 처음의 판단인 ‘오른쪽 끝 1’을 그대로 답으로 쓰지 않고, x=-2일 때 y=(-2)²=4, x=1일 때 y=1²=1이라고 적습니다. 두 값을 비교하면 4가 1보다 크므로 최댓값은 4입니다. 꼭짓점에서는 y=0이므로 이 구간에서 꼭짓점의 값은 최솟값에 해당합니다.

학생의 재시도와 풀이 확인

이제 문제와 조건은 보이게 두고, 앞에서 적었던 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 다시 시작하도록 합니다. 학생은 먼저 “구간에는 -2와 1이 모두 포함되므로 두 끝점을 확인해야 한다”고 말하거나 식으로 적습니다. 이어서 각 x를 y=x²에 대입하고, 계산한 함숫값을 비교해 최댓값을 결정합니다. 교사는 필요한 경우 x=-2를 대입하는 부분만 함께 풀어 보인 뒤, 괄호와 제곱 계산은 학생이 이어서 하도록 합니다.

재시도에서는 표시가 남았는지만 보지 않고, 학생이 처음 답을 바꾼 근거를 문제의 조건과 연결하는지 확인합니다. “오른쪽 끝이라서 최댓값”이라는 판단 대신 “두 끝점 중 대칭축에서 더 먼 x=-2의 제곱값이 더 크고, 실제로 4와 1을 비교했다”고 설명할 수 있는지가 중요합니다. 계산이 맞더라도 최종적으로 묻는 값이 x인지 y인지 혼동하지 않는지도 함께 살핍니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산은 같은 풀이를 반복하는 대신 끝점에서 얻은 값 4와 1을 다시 비교하고, 꼭짓점 x=0에서 y=0이 되어 최솟값이라는 조건을 확인하는 방식으로 진행합니다. 수정 풀이를 가린 뒤에도 학생이 양 끝점과 꼭짓점을 구분해 다시 답을 구성하는지 살펴봅니다. 혼자 막히면 개념 이해가 부족한지, 대입이나 제곱 계산에서 막힌 것인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

다음 문제로 y=(x-1)², -3≤x≤2에서 최댓값은?을 적용해 봅니다. 이 함수의 꼭짓점은 x=1이고, 꼭짓점의 값은 0입니다. 주어진 구간에는 x=1이 포함되며, 양 끝점까지의 거리는 x=-3에서 4, x=2에서 1입니다. 따라서 x=-3일 때 y=(-4)²=16, x=2일 때 y=1²=1이므로 최댓값은 16입니다. 앞 문제와 숫자는 달라졌지만, 꼭짓점이 구간에 포함되는지 확인하고 양 끝점의 함숫값을 비교한다는 흐름은 이어집니다.

추가로 -4≤x≤1에서 y=x²를 비교 문제로 선택할 수 있습니다. 이때 왼쪽 끝 x=-4의 값은 16, 오른쪽 끝 x=1의 값은 1이므로 최댓값은 왼쪽 끝에서 얻습니다. 이를 통해 최댓값이 언제나 구간의 오른쪽 끝에서 나온다는 규칙은 성립하지 않음을 확인합니다. 다음 수업에서는 새 적용 문제를 이전 풀이와 정답을 보지 않고 해결한 뒤, 왜 해당 끝점의 함숫값을 선택했는지 설명하고 다른 구간에도 같은 판단을 조건에 맞게 적용하는지를 확인합니다.