용당동 고등수학과외

절댓값 로그의 두 구간을 말로는 설명하지만 식에 적용할 때 한쪽만 남기는 경우가 있다. 수업에서 다음 문제를 만났다고 하자. $f(x)=\ln|x|$, $x\ne0$의 도함수를 구하는 문제다. 여기서 먼저 확인할 것은 로그의 진수가 양수여야 한다는 조건과 절댓값 때문에 원함수가 어느 입력에서 정의되는가이다. $|x|>0$이므로 정의역은 $x\ne0$ 전체다.

음수 구간을 지운 풀이에서 확인할 것

이렇게 답했다면, “$\ln x$와 같은 식이므로 $x>0$만 남긴다”는 풀이가 된다. 그러나 이 한 번의 오답만으로 개념을 단정하지는 않는다. 먼저 x<0에서 $\ln|x|$를 어떤 식으로 바꾸어 쓸 수 있는지 말하게 하고, 그 답변과 처음 적은 식을 직접 대조하게 한다. 음수 구간을 놓친 것인지, 로그의 정의역을 원함수와 도함수에 다르게 적용한 것인지, 또는 지수함수와 거듭제곱함수의 미분을 혼동한 것인지 확인한다. 문자 x가 밑인지 지수인지도 구분해 표시한다.

양수와 음수에서 직접 미분하기

기준이 되는 식을 비교해 보자. $e^x$의 도함수는 $e^x$이고, $a>0$일 때 $a^x$의 도함수는 $a^x\ln a$이다. 반면 $\ln x$는 $x>0$에서 도함수가 $1/x$이다. 따라서 절댓값을 벗기면 양수 구간에서는 $\ln|x|=\ln x$, 음수 구간에서는 $\ln|x|=\ln(-x)$로 나누어야 한다. 교사는 이 비교 기준을 보여 주되, 학생이 각 구간의 계산과 답의 선택을 직접 하게 한다.

학생은 양수 구간에서 $(\ln x)'=1/x$를 적고, 음수 구간에서는 $(\ln(-x))'=(-1)/(-x)=1/x$를 계산한다. x=0에서는 원함수 자체가 정의되지 않으므로 제외한다. 두 계산을 나란히 놓고 분자와 분모의 부호가 어떻게 없어지는지 표시하면, 음수 입력에서도 같은 식 $1/x$가 나온다는 점을 확인할 수 있다. 따라서 정답은 $f'(x)=1/x,\ x\ne0$이다. 이는 특정 수치를 대입한 결과가 아니라 두 구간의 일반적인 미분 계산에 따른 결론이다.

정의역을 유지한 채 다른 식에 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남겨 둔 자료로 $f(x)=\ln x$의 도함수와 정의역을 구하게 한다. 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 로그의 진수 조건을 먼저 적고 계산을 시작한다. $f'(x)=1/x$를 얻더라도, 미분한 식이 형식상 음수에서 계산된다고 해서 원함수의 정의역을 넓혀서는 안 된다. 원함수 $\ln x$는 $x>0$에서만 존재하므로 정답은 $1/x,\ x>0$이다. x<0에서는 원함수 자체가 없어서 그 점의 도함수도 논할 수 없다.

마지막에는 학생이 절댓값 로그의 두 구간을 확인한 근거를 다시 적는다. 이어 문제의 조건과 식은 보이되 풀이와 정답은 가린 자료에서, 양수·음수 구간을 나누는 기준과 원래 정의역을 유지하는 원칙을 스스로 조정해 쓰게 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서도 말로 아는 기준이 실제 식에 적용되는지, 그리고 미분 뒤 정의역을 임의로 바꾸지 않는지 이 과정을 통해 확인할 수 있다.