월계동 수학과외

분모가 작은 분수가 유한소수라는 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “분수 6/45와 7/28 중 유한소수인 것은?”이라는 질문에 학생이 “분모가 더 작은 6/45다.”라고 답했습니다. 이 답은 분모의 크기만 비교해 유한소수 여부를 판단한 경우입니다. 하지만 유한소수인지 알아보려면 분모가 작은지를 보는 것이 아니라, 먼저 각 분수를 기약분수로 약분한 뒤 분모의 소인수를 확인해야 합니다.

약분한 뒤 분모의 소인수를 따로 확인하기

교사는 두 분수를 한꺼번에 비교하지 않고 각각 약분해 보도록 안내합니다. 6/45는 분자와 분모를 3으로 나누어 2/15가 됩니다. 15는 3×5이므로 분모에 3이 남습니다. 기약분수의 분모에 2와 5 이외의 소인수가 남으면 유한소수로 끝나지 않습니다. 반면 7/28은 분자와 분모를 7로 나누어 1/4가 되고, 4=2²이므로 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

학생이 처음 판단한 이유를 바로 단정하지 않고, 교사는 “분모가 작으면 항상 유한소수가 될까?”, “약분한 뒤에도 같은 분모를 보고 있나?”라고 묻습니다. 학생이 개념을 말로 설명하지만 계산 결과가 다르다면, 처음 약분한 식이나 공약수 계산부터 함께 확인합니다. 반대로 약분의 의미가 막히면 6/45에서 45를 3으로 나눌 때 분자도 반드시 같은 수로 나누어야 한다는 점을 짧게 보여 준 뒤, 7/28은 학생이 직접 약분하게 합니다.

학생의 수정 풀이와 검산

학생은 처음의 “분모가 작은 6/45”라는 판단을 바꾸어 두 분수를 각각 기약분수로 만듭니다. 6/45=2/15이고 분모에 3이 남으므로 유한소수가 아닙니다. 7/28=1/4이고 분모의 소인수가 2뿐이므로 유한소수입니다. 따라서 정답은 7/28입니다. 이때 2/15의 값을 최종 답으로 쓰는 것이 아니라, 두 분수 중 어느 것이 유한소수인지가 문제의 요구임을 확인합니다.

검산은 같은 약분 과정을 그대로 반복하는 대신 소수 표현으로 결과를 확인합니다. 1/4=0.25로 끝나지만, 2/15=0.1333…처럼 3이 반복됩니다. 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제의 수치와 조건만 보고 다시 해결하게 하면, 단순히 풀이 순서를 따라 쓴 것인지 약분 후 분모를 근거로 판단한 것인지 구분할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

새 문제로 “3/12와 7/15 중 유한소수로 나타나는 것은?”을 제시합니다. 3/12는 1/4로 약분되므로 유한소수이고, 7/15는 더 이상 약분되지 않으며 분모 15에 3이 남아 유한소수가 아닙니다. 이전 문제와 숫자는 달라졌지만, 먼저 기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수를 판단하는 방법은 그대로 적용됩니다.

필요하다면 “약분 전 분모에 3이 있으면 반드시 무한소수다.”라는 설명도 확인합니다. 3/1536은 분자와 분모를 3으로 나누면 1/512가 되고, 512=2⁹이므로 유한소수입니다. 따라서 유한소수 여부는 약분 전 분모가 아니라 약분 후 분모로 판단해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제를 풀이와 정답을 보지 않고 다시 해결하고, 왜 분모의 크기가 아니라 남은 소인수를 확인했는지 설명하는지를 기준으로 도움의 정도를 조절합니다.